kaoyan2advanced 线性代数 第280题
📝 题目
### 第280题
（2010，数农）设向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表示，下列命题中正确的是 （A）若向量组 I 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （B）若向量组 I 线性相关，则 $r>s$ ． （C）若向量组 II 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （D）若向量组 II 线性相关，则 $r>s$ ．
## 解答题
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：向量组I可由II线性表示，则$r(I) \leq r(II) \leq s$。 步骤2：若I线性无关，则$r(I)=r$，故$r \leq s$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析向量组线性表示与秩的关系
向量组I可由向量组II线性表示，则向量组I的秩不超过向量组II的秩，即$r(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}) \leq r(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s})$。又因为向量组II的秩不超过其向量个数$s$，所以$r(I) \leq r(II) \leq s$。
公式：$$r(I) \leq r(II) \leq s$$
提示：注意线性表示与秩的不等式方向
步骤 2/6
目标：判断选项A
若向量组I线性无关，则其秩等于向量个数$r$，即$r(I)=r$。结合$r(I) \leq s$，可得$r \leq s$。因此选项A正确。
公式：$$r(I) \leq s$$
提示：注意向量组线性无关时秩等于向量个数
步骤 3/6
目标：判断选项B
若向量组I线性相关，则$r(I) < r$，但由$r(I) \leq s$无法推出$r > s$。例如，取$r=2, s=3$，I线性相关时仍可能有$r \leq s$，故B错误。
提示：线性相关与秩的关系易混淆
步骤 4/6
目标：判断选项C
若向量组II线性无关，则$r(II)=s$，但由$r(I) \leq r(II)$只能得到$r(I) \leq s$，无法得到$r \leq s$（因为$r$可能大于$s$，但此时$r(I) \leq s$意味着I必然线性相关）。例如，取$r=3, s=2$，II线性无关，但I可由II表示时，I的秩不超过2，故I必相关，此时$r>s$，故C错误。
提示：注意r(I)≤s不能推出r≤s
步骤 5/6
目标：判断选项D
若向量组II线性相关，则$r(II) < s$，但由$r(I) \leq r(II)$无法推出$r > s$。例如，取$r=1, s=2$，II线性相关，但$r=1 < s=2$，故D错误。
提示：注意秩不等式方向，线性相关时秩小于向量个数
步骤 6/6
目标：得出结论
综合以上分析，只有选项A正确。因此答案为A。
提示：注意向量组线性无关与线性表示的关系
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