kaoyan2advanced 线性代数 第281题

**答案**：C **解析**：步骤1：分析选项（A），取$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(2,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_4=(0,2,0)^T$，则$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=(2,2,0)^T$线性相关，但若取$\boldsymbol{\alpha}_3=(0,0,1)^T,\boldsymbol{\alpha}_4=(0,0,2)^T$，则$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,1)^T,\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=(2,0,2)^T$线性相关，但若$\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_4=(0,1,0)^T$，则$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3=(2,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=(2,1,0)^T$线性无关，故（A）错误。 步骤2：分析选项（B），取$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_3=(0,0,1)^T$线性无关，令$\boldsymbol{\alpha}_4=(1,1,1)^T$，则$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_4=(2,1,1)^T,\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=(1,2,1)^T,\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4=(1,1,2)^T$，计算行列式得$4\neq0$，线性无关；但若$\boldsymbol{\alpha}_4=-\boldsymbol{\alpha}_1$，则$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}$，线性相关，故（B）错误。 步骤3：分析选项（C），若$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，则三维空间中任意向量可由其线性表示，与$\boldsymbol{\alpha}_4$不能由它们线性表示矛盾，故$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$必线性相关，（C）正确。 步骤4：分析选项（D），取$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(2,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_4=(3,1,0)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_4$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，但$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性相关，故（D）错误。 **难度**：★★★☆☆