kaoyan2advanced 线性代数 第282题

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📝 题目

### 第282题

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}$ 均为三维向量，现有四个命题 （1）若 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关。 （2）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示． （3）若 $\boldsymbol{\beta}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关。 （4）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。 以上的命题正确的是 （A）（1）（2）． （B）（3）（4）． （C）（1）（4）． （D）（2）（3）．

建议荅题时问

有点难不会

💡 答案解析

**答案**：C **解析**：步骤1：分析命题（1），若$\boldsymbol{\beta}$不能由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，则$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$的秩小于3，即线性相关，正确。 步骤2：分析命题（2），取$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(2,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,0)^T$线性相关，$\boldsymbol{\beta}=(3,1,0)^T$可由其线性表示，故（2）错误。 步骤3：分析命题（3），取$\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(2,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,0)^T$线性相关，$\boldsymbol{\beta}=(3,1,0)^T$可由其线性表示，故（3）错误。 步骤4：分析命题（4），三维空间中三个线性无关的向量构成一组基，可表示任意三维向量，故$\boldsymbol{\beta}$能由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，正确。 步骤5：综上，正确的命题是（1）（4）。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析命题（1）
若 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\beta}$ 不在 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 张成的空间中。由于 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是三维向量，若它们线性无关，则构成一组基，可表示任意三维向量，与 $\boldsymbol{\beta}$ 不能表示矛盾。因此 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的秩小于3，即线性相关。命题（1）正确。
提示：注意“不能表示”推出向量组相关
步骤 2/5
目标：分析命题（2）
取反例：设 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0,0)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = (2,0,0)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_3 = (0,1,0)^T$，则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关（因为 $\boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_1$）。取 $\boldsymbol{\beta} = (3,1,0)^T$，则 $\boldsymbol{\beta} = 3\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3$，可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示。故命题（2）错误。
提示：反例中线性相关组仍可表示向量
步骤 3/5
目标：分析命题（3）
取与命题（2）相同的反例：$\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,0,0)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = (2,0,0)^T$，$\boldsymbol{\alpha}_3 = (0,1,0)^T$ 线性相关，但 $\boldsymbol{\beta} = (3,1,0)^T$ 能由它们线性表示。故命题（3）错误。
提示：线性相关不一定不能线性表示
步骤 4/5
目标：分析命题（4）
若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则它们构成三维空间的一组基。对于任意三维向量 $\boldsymbol{\beta}$，存在唯一的一组系数使得 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示。因此命题（4）正确。
提示：注意基的判定与线性表示唯一性
步骤 5/5
目标：总结正确命题
由以上分析，命题（1）和（4）正确，命题（2）和（3）错误。故正确选项为C。
提示：注意向量组等价与线性表示的关系

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