kaoyan2advanced 线性代数 第283题

教材习题

📝 题目

### 第283题

设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关， $\boldsymbol{A}$ 经过初等行变换变为矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}\right]$ ，则 （A） $\boldsymbol{\beta}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示。 （B） $\boldsymbol{\beta}_{4}$ 可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，但表示法不唯一。 （C） $\boldsymbol{\beta}_{4}$ 可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，且表示法唯一。 （D） $\boldsymbol{\beta}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示不能确定。

💡 答案解析

**答案**：C **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性相关，知$\boldsymbol{\alpha}_4$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$唯一线性表示。 步骤2：初等行变换保持列向量组的线性关系，故$\boldsymbol{\beta}_4$可由$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$唯一线性表示。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：分析向量组线性关系
由题设，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，而$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性相关。根据线性相关性的性质，$\boldsymbol{\alpha}_4$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$唯一线性表示。
提示：注意线性无关与相关的关系
步骤 2/4
目标：理解初等行变换的性质
初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性关系。即，若$\boldsymbol{\alpha}_4 = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3$，则经过初等行变换后，对应的列向量$\boldsymbol{\beta}_4$与$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$保持相同的线性关系：$\boldsymbol{\beta}_4 = k_1\boldsymbol{\beta}_1 + k_2\boldsymbol{\beta}_2 + k_3\boldsymbol{\beta}_3$。
提示：初等行变换保持列向量线性关系不变
步骤 3/4
目标：判断表示法的唯一性
由于$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，它们构成一组基，因此$\boldsymbol{\alpha}_4$的表示系数唯一。初等行变换保持线性无关性，故$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$也线性无关，从而$\boldsymbol{\beta}_4$由$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$线性表示的系数也唯一。
提示：注意线性无关与基的关系
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，$\boldsymbol{\beta}_4$可由$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$唯一线性表示。对照选项，正确选项为C。
提示：注意唯一线性表示的条件

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