kaoyan2advanced 线性代数 第284题

教材习题

📝 题目

### 第284题

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,2,3,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,0,3, a)^{\mathrm{T}}$的秩等于 3 ，则 $a=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

💡 答案解析

**答案**：D **解析**：步骤1：构造矩阵$[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4]=\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&2&2&0\\0&0&3&3\\4&0&0&a\end{bmatrix}$，秩为3，则行列式为0。 步骤2：计算行列式：按第一行展开，得$1\cdot\begin{vmatrix}2&2&0\\0&3&3\\0&0&a\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}0&2&0\\0&3&3\\4&0&a\end{vmatrix}=1\cdot(2\cdot3\cdot a)-1\cdot(0-4\cdot(2\cdot3-0))=6a-(-24)=6a+24=0$，解得$a=-4$，但选项无负值，重新计算：行列式$=1\cdot(2\cdot3\cdot a)-1\cdot(0-4\cdot(2\cdot3))=6a+24=0$，得$a=-4$，与选项不符。检查矩阵：应为$\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&2&2&0\\0&0&3&3\\4&0&0&a\end{bmatrix}$，行列式$=1\cdot2\cdot3\cdot a + (-1)\cdot(-4)\cdot(2\cdot3)=6a+24=0$，得$a=-4$，但选项无此值，可能题目有误。按秩为3，则任意4阶子式为0，取前3行和最后1行，计算子式：$\begin{vmatrix}1&1&0\\0&2&2\\4&0&a\end{vmatrix}=1\cdot(2a-0)-1\cdot(0-8)+0=2a+8=0$，得$a=-4$，仍不符。考虑选项，若$a=4$，则秩为4，故排除。重新审视：题目中向量为列向量，矩阵应为$[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4]=\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&2&2&0\\0&0&3&3\\4&0&0&a\end{bmatrix}$，秩为3，则行列式$=1\cdot2\cdot3\cdot a + (-1)^{4+1}\cdot4\cdot\begin{vmatrix}1&0&0\\2&2&0\\0&3&3\end{vmatrix}=6a-4\cdot(1\cdot2\cdot3)=6a-24=0$，得$a=4$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：构造矩阵并利用秩的条件
将向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 按列排成矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & a \end{bmatrix}$。已知秩为3，则矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)=0$。
公式：$$\det(A)=0$$
提示：注意行列式计算时符号和零元素
步骤 2/5
目标：计算行列式
按第一行展开计算 $\det(A)$： $\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & a \end{vmatrix} + 0 - 0$。 第一个三阶行列式是上三角矩阵，值为 $2 \cdot 3 \cdot a = 6a$。 第二个三阶行列式按第一列展开：$0 \cdot (\cdots) - 0 \cdot (\cdots) + 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot (2 \cdot 3 - 0 \cdot 3) = 4 \cdot 6 = 24$，但注意展开时符号：$(-1)^{4+1} \cdot 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = -4 \cdot 6 = -24$。因此 $\det(A) = 6a - (-24) = 6a + 24$。
提示：注意行列式展开时符号与代数余子式的关系
步骤 3/5
目标：解方程求 a
由秩为3得 $\det(A)=0$，即 $6a + 24 = 0$，解得 $a = -4$。但选项均为正数，需检查计算。
公式：$$\det(A)=0$$
提示：注意行列式计算符号，检查选项是否匹配
步骤 4/5
目标：验证计算并修正
重新计算行列式：直接按第一行展开，第二个子式应为 $-1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & a \end{vmatrix}$。计算该三阶行列式：按第一列展开，得 $0 \cdot (\cdots) - 0 \cdot (\cdots) + 4 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 1 \cdot (2 \cdot 3 - 0 \cdot 3) = 24$。因此 $\det(A) = 6a - 24 = 0$，解得 $a = 4$。
公式：$$\det(A) = 6a - 24 = 0 \Rightarrow a = 4$$
提示：注意行列式展开时符号和子式对应
步骤 5/5
目标：得出答案
因此 $a = 4$，对应选项 (D)。
提示：注意向量组线性无关的判定条件

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