📝 题目
### 第285题
已知四维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：将$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\beta}_4,\boldsymbol{\beta}_5$表示为$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$的线性组合，系数矩阵为$\begin{bmatrix}1&0&0&0&2\\0&1&0&1&1\\1&0&1&1&1\\1&-1&1&0&0\end{bmatrix}$。 步骤2：对系数矩阵进行初等行变换：$\begin{bmatrix}1&0&0&0&2\\0&1&0&1&1\\1&0&1&1&1\\1&-1&1&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0&0&2\\0&1&0&1&1\\0&0&1&1&-1\\0&-1&1&0&-2\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0&0&2\\0&1&0&1&1\\0&0&1&1&-1\\0&0&1&1&-1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0&0&2\\0&1&0&1&1\\0&0&1&1&-1\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}$，秩为3。 步骤3：由于$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$线性无关，故$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\beta}_4,\boldsymbol{\beta}_5$的秩等于系数矩阵的秩，即3。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：步骤1：将β向量组表示为α向量组的线性组合
由已知条件，$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4$，$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_4$，$\boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4$，$\boldsymbol{\beta}_4 = \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$，$\boldsymbol{\beta}_5 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$。因此，系数矩阵为：
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}$$
公式：$$\begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 & \beta_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
提示：注意系数矩阵的行列对应关系
目标：步骤2：对系数矩阵进行初等行变换
对矩阵进行行变换：
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_1, r_4 - r_1} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -2\end{bmatrix}$$
提示：注意行变换的符号和顺序
目标：步骤3：继续行变换化简
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -2\end{bmatrix} \xrightarrow{r_4 + r_2} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1\end{bmatrix}$$
提示：注意行变换时系数符号，避免计算错误
目标：步骤4：化为行最简形
$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1\end{bmatrix} \xrightarrow{r_4 - r_3} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$
提示：注意行最简形要求非零行首元为1且所在列其余为0
目标：步骤5：确定系数矩阵的秩
行最简形矩阵有3个非零行，因此系数矩阵的秩为3。
提示：注意非零行数即矩阵的秩
目标：步骤6：得出β向量组的秩
由于$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$线性无关，$\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4, \boldsymbol{\beta}_5$的秩等于系数矩阵的秩，即3。因此，$r(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4, \boldsymbol{\beta}_5) = 3$，答案为C。
提示：注意系数矩阵秩等于向量组秩