kaoyan2advanced 线性代数 第288题
📝 题目
### 第288题
$288(1997,4)$ 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 中未知量个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则 （A）$r=m$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解． （B）$r=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解． （C）$m=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解。 （D）$r
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：分析选项（A），$r=m$时，系数矩阵行满秩，则$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})=m$，方程组有解，正确。 步骤2：分析选项（B），$r=n$时，若$m>n$，则可能无解，故（B）错误。 步骤3：分析选项（C），$m=n$时，若$r
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项（A）
当 $r=m$ 时，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 行满秩，即 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关。此时增广矩阵 $(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$ 的秩 $r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$ 等于 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})$，因为行满秩意味着 $\boldsymbol{b}$ 可以由 $\boldsymbol{A}$ 的行向量线性表示，故 $r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})=r(\boldsymbol{A})=m$。由非齐次线性方程组有解的充要条件 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$，可知方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解。因此选项（A）正确。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$$
提示：行满秩时增广矩阵秩不变
步骤 2/5
目标：分析选项（B）
当 $r=n$ 时，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 列满秩，即 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关。但方程组有解还需满足 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$。若 $m>n$，则增广矩阵的秩可能大于 $n$，导致 $r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})>r(\boldsymbol{A})$，此时方程组无解。例如，取 $m=2,n=1$，$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$，则 $r=1=n$，但方程组无解。因此选项（B）错误。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})$$
提示：注意列满秩仅保证唯一解可能，还需秩相等
步骤 3/5
目标：分析选项（C）
当 $m=n$ 时，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是方阵。方程组有唯一解的条件是 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})=n$。若 $r
提示：m=n时未必有唯一解，需考虑秩
步骤 4/5
目标：分析选项（D）
当 $r
提示：r
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上分析，只有选项（A）正确。因此答案为 A。
提示：注意系数矩阵秩与增广矩阵秩的关系
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