kaoyan2advanced 线性代数 第289题
📝 题目
### 第289题
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，下列命题中错误的是 （A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 只有零解． （B）存在 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ 而 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ． （C）$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right|=0$ ． （D）$\left|\boldsymbol{A A}^{\mathrm{T}}\right|=0$ ．
建设荅题时门 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
管题 区域
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：计算$\boldsymbol{A}$的秩：$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&1&-1&2\\2&1&1&4\\3&1&1&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&-1&2\\0&-1&3&0\\0&-2&4&-5\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&-1&2\\0&-1&3&0\\0&0&-2&-5\end{bmatrix}$，秩为3。 步骤2：分析选项（A），$\boldsymbol{A}^T$为$4\times3$矩阵，$r(\boldsymbol{A}^T)=3$，列满秩，故$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$只有零解，正确。 步骤3：分析选项（B），$\boldsymbol{A}$的列向量组秩为3，有4列，故存在非零矩阵$\boldsymbol{B}$使得$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}$，正确。 步骤4：分析选项（C），$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}$为$4\times4$矩阵，$r(\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})=3<4$，故行列式为0，正确。 步骤5：分析选项（D），$\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T$为$3\times3$矩阵，$r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T)=r(\boldsymbol{A})=3$，满秩，故行列式不为0，错误。 **难度**：★★★☆☆