kaoyan2advanced 线性代数 第290题

若 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，则左乘 $\boldsymbol{A}$ 得 $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}$，故（I）的解必是（II）的解，命题（1）正确。

对于 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，考虑其最小多项式，次数不超过 $n$。若 $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，则 $\boldsymbol{x}$ 属于 $\boldsymbol{A}$ 的零空间，且 $\boldsymbol{A}$ 的零化多项式 $\lambda^{n+1}$ 的次数为 $n+1$，但由 Cayley-Hamilton 定理，$\boldsymbol{A}$ 的特征多项式次数为 $n$，故 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 必成立（因为若存在 $\boldsymbol{x}$ 使 $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 但 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，则 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 块阶数至少为 $n+1$，矛盾），因此（II）的解必是（I）的解，命题（2）正确。

由步骤1和步骤2知，（I）的解是（II）的解，且（II）的解也是（I）的解，因此（I）和（II）的解集相同。故命题（3）“（I）的解不是（II）的解”错误，命题（4）“（II）的解不是（I）的解”也错误。

正确的命题是（1）和（2），对应选项（A）。