kaoyan2advanced 线性代数 第294题

由于 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵，根据实对称矩阵的性质，$\boldsymbol{A}$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}$，其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角矩阵，对角元素为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值。

已知 $\boldsymbol{A}^3 = \boldsymbol{O}$，设 $\lambda$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的任一特征值，对应的特征向量为 $\boldsymbol{x}$，则 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。于是 $\boldsymbol{A}^3\boldsymbol{x} = \lambda^3 \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，由于 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，故 $\lambda^3 = 0$，解得 $\lambda = 0$。因此 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值均为 $0$。

因为 $\boldsymbol{A}$ 可对角化且特征值全为 $0$，所以存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{0}$（零矩阵）。左乘 $\boldsymbol{P}$ 右乘 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{0}\boldsymbol{P}^{-1} = \boldsymbol{O}$。

由于 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}$ 是零矩阵，其秩为 $0$。

因此矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $0$，对应选项 (A)。