kaoyan2advanced 线性代数 第295题
📝 题目
### 第295题
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n \times m$ 矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=n$ ，则下列命题中正确的是 （A） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 必为可逆矩阵． （B） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必为可逆矩阵． （C） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 必与单位矩阵相似． （D） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必与单位矩阵相似．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\boldsymbol{A}$为$n\times m$矩阵，$r(\boldsymbol{A})=n$，则$\boldsymbol{A}$行满秩。 步骤2：$\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T$为$n\times n$矩阵，且$r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T)=r(\boldsymbol{A})=n$，故$\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T$满秩，可逆，故（A）正确。 步骤3：$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}$为$m\times m$矩阵，$r(\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})=n
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵A的秩与行满秩性质
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n \times m$ 矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=n$，则 $\boldsymbol{A}$ 行满秩，即行向量组线性无关。
提示：行满秩意味着行向量线性无关
步骤 2/6
目标：判断 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的秩与可逆性
由于 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $n \times n$ 矩阵，且 $r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = r(\boldsymbol{A}) = n$，故 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 满秩，因此可逆。选项 (A) 正确。
公式：$$r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) = r(\boldsymbol{A}) = n$$
提示：注意矩阵秩与可逆性的关系
步骤 3/6
目标：判断 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$ 的秩与可逆性
$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$ 是 $m \times m$ 矩阵，且 $r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}) = n < m$，故 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$ 不满秩，不可逆。选项 (B) 错误。
公式：$$r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A})$$
提示：注意矩阵秩的性质与可逆性关系
步骤 4/6
目标：判断 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是否与单位矩阵相似
$\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 可逆，但不一定与单位矩阵相似，因为相似要求特征值全为1，而 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的特征值不一定全为1。选项 (C) 错误。
提示：可逆不一定相似于单位矩阵
步骤 5/6
目标：判断 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$ 是否与单位矩阵相似
$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$ 不可逆，而单位矩阵可逆，故两者不可能相似。选项 (D) 错误。
提示：注意矩阵可逆性是相似的必要条件
步骤 6/6
目标：得出正确答案
综上所述，正确选项为 (A)。
提示：注意矩阵秩与线性方程组解的关系
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