kaoyan2advanced 线性代数 第296题
📝 题目
### 第296题
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $0,1,-1$ ，则下列命题中不正确的是 （A）矩阵 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 是不可逆矩阵。 （B）矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 和对角矩阵相似． （C）矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于 1 与 -1 的特征向量相互正交． （D）方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系由一个向量构成。
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：矩阵$\boldsymbol{A}$的特征值为$0,1,-1$，则$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$的特征值为$-1,0,-2$，有零特征值，故不可逆，A正确。 步骤2：$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$的特征值为$1,2,0$，有三个不同特征值，可相似对角化，B正确。 步骤3：不同特征值对应的特征向量不一定正交，仅当$\boldsymbol{A}$为实对称矩阵时才正交，题中未说明$\boldsymbol{A}$对称，故C不正确。 步骤4：$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的解空间维数等于零特征值的代数重数$1$，基础解系由一个向量构成，D正确。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵A-E的可逆性
已知矩阵$\boldsymbol{A}$的特征值为$0,1,-1$，则$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$的特征值为$0-1=-1$，$1-1=0$，$-1-1=-2$。由于存在零特征值，$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$不可逆，故命题A正确。
公式：若λ是A的特征值，则f(λ)是f(A)的特征值
提示：注意特征值平移后零特征值导致不可逆
步骤 2/5
目标：分析矩阵A+E的相似对角化
$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$的特征值为$0+1=1$，$1+1=2$，$-1+1=0$，即$1,2,0$。三个特征值互不相同，因此$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$可相似对角化，即与对角矩阵相似，故命题B正确。
公式：$$\lambda_{A+E} = \lambda_A + 1$$
提示：特征值互异则必可对角化
步骤 3/5
目标：判断特征向量的正交性
不同特征值对应的特征向量不一定正交，只有当矩阵为实对称矩阵时，不同特征值对应的特征向量才正交。题目未说明$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，因此不能保证属于1和-1的特征向量相互正交，故命题C不正确。
提示：不同特征值特征向量正交需对称矩阵
步骤 4/5
目标：分析方程组Ax=0的解空间
方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的解空间维数等于零特征值的代数重数。特征值0的代数重数为1，因此基础解系由一个向量构成，故命题D正确。
提示：零特征值代数重数等于解空间维数
步骤 5/5
目标：得出最终结论
综合以上分析，不正确的命题是C。
提示：注意特征值0对应的特征向量非零。
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