kaoyan2advanced 线性代数 第297题
📝 题目
### 第297题
下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & -5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ．
建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：选项A为下三角矩阵，特征值为$3,-1,1$，三个不同特征值，可相似对角化。 步骤2：选项B为实对称矩阵，必可相似对角化。 步骤3：选项C矩阵秩为$1$，有特征值$0$（二重）和$-4$，但$(\boldsymbol{A}-0\boldsymbol{E})$的秩为$1$，几何重数$2$等于代数重数，可对角化。 步骤4：选项D为上三角矩阵，特征值为$2$（二重）和$-1$，但$(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})$的秩为$2$，几何重数$1$小于代数重数$2$，不可对角化。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
矩阵A为下三角矩阵，特征值为对角线元素：$3, -1, 1$。三个特征值互不相同，因此矩阵可相似对角化。
提示：下三角矩阵特征值即对角线元素
步骤 2/5
目标：分析选项B
矩阵B为实对称矩阵，实对称矩阵必可相似对角化。
提示：实对称矩阵必可相似对角化
步骤 3/5
目标：分析选项C
矩阵C的秩为1，特征值为$0$（二重）和$-4$。计算$(A-0E)$的秩为1，几何重数为$3-1=2$，等于代数重数2，因此可对角化。
提示：几何重数等于代数重数时可对角化
步骤 4/5
目标：分析选项D
矩阵D为上三角矩阵，特征值为$2$（二重）和$-1$。计算$(A-2E)=\begin{bmatrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$，秩为2，几何重数为$3-2=1$，小于代数重数2，因此不可对角化。
提示：几何重数小于代数重数时不可对角化
步骤 5/5
目标：得出结论
只有选项D不能相似对角化，故答案为D。
提示：检查特征值重数是否等于几何重数
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