kaoyan2advanced 线性代数 第298题
📝 题目
### 第298题
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{C}, \boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{D}$ ，则必有 （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \sim(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{D})$ ． （B）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]$ ． （C）$A B \sim C D$ ． （D）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{D} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{C}$，存在可逆矩阵$\boldsymbol{P}$使$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{C}$；由$\boldsymbol{B}\sim\boldsymbol{D}$，存在可逆矩阵$\boldsymbol{Q}$使$\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{B}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{D}$。 步骤2：构造分块矩阵$\begin{bmatrix}\boldsymbol{P}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{Q}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{B}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{P}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{Q}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{C}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{D}\end{bmatrix}$，故B正确。 步骤3：A、C、D中矩阵运算不保持相似关系。 **难度**：★★★☆☆