kaoyan2advanced 线性代数 第299题
📝 题目
### 第299题
设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 是单位向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{E}+3 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ （A）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 3 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 5 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\boldsymbol{\alpha}$为单位向量，$\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$的秩为$1$，特征值为$1$（单重）和$0$（$n-1$重）。 步骤2：$\boldsymbol{A}=2\boldsymbol{E}+3\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$的特征值为$2+3\times1=5$（单重）和$2+3\times0=2$（$n-1$重）。 步骤3：$\boldsymbol{A}$为实对称矩阵，可相似对角化，相似于$\operatorname{diag}(5,2,2)$。 **难度**：★★☆☆☆