kaoyan2advanced 线性代数 第300题
📝 题目
### 第300题
n$ 元二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 正定的充分必要条件是 （A）负惯性指数 $q=0$ ． （B）存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{E}$ ． （C）正惯性指数 $p=n$ ． （D）存在 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}$ ．
建议荅题时问$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：二次型正定的充要条件是正惯性指数$p=n$，即所有特征值大于零。 步骤2：A选项$q=0$仅保证半正定，不一定正定；B选项要求$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{E}$，即$\boldsymbol{A}$相似于单位阵，但正定不要求相似于$\boldsymbol{E}$；D选项$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{C}$，若$\boldsymbol{C}$可逆则正定，但$\boldsymbol{C}$不一定可逆。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解二次型正定的定义
二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 正定是指对于任意非零向量 $\boldsymbol{x}$，有 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} > 0$。其充要条件是正惯性指数 $p = n$，即所有特征值大于零。
提示：注意正定与负惯性指数无关
步骤 2/6
目标：分析选项A
选项A：负惯性指数 $q=0$。这仅说明特征值非负，但可能为零，因此只能保证半正定，不能保证正定。例如 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 满足 $q=0$，但非正定。
提示：负惯性指数为0仅保证半正定
步骤 3/6
目标：分析选项B
选项B：存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{E}$。这表示 $\boldsymbol{A}$ 相似于单位阵，但正定要求合同于单位阵，而非相似。例如 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 正定，但不存在可逆 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{E}$，因为特征值不同。
提示：正定要求合同于单位阵，而非相似
步骤 4/6
目标：分析选项C
选项C：正惯性指数 $p=n$。这正是二次型正定的充要条件，因为所有特征值大于零等价于正惯性指数为 $n$。
公式：$$p=n$$
提示：正惯性指数为n是充要条件
步骤 5/6
目标：分析选项D
选项D：存在 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}$。这仅保证 $\boldsymbol{A}$ 半正定，只有当 $\boldsymbol{C}$ 可逆时才正定，但 $\boldsymbol{C}$ 不一定可逆。例如 $\boldsymbol{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 半正定非正定。
提示：C可逆才保证A正定，否则仅半正定
步骤 6/6
目标：得出结论
综合以上分析，正确选项为C。
提示：注意正定与各阶顺序主子式全大于0等价
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。