kaoyan2advanced 线性代数 第301题

对于二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{2} x_{3}$，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为 $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$。对于二次型 $\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}$，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 为 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$。

计算 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式：$\det(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & -1 \\ 0 & -1 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-2)[(\lambda-1)^2 - 1] = (\lambda-2)(\lambda^2 - 2\lambda) = \lambda(\lambda-2)^2$。所以特征值为 $\lambda_1=2$（二重），$\lambda_2=0$。

$\boldsymbol{B}$ 是对角矩阵，特征值即对角线元素：$\mu_1=1$，$\mu_2=3$。

相似矩阵必须有相同的特征值（包括重数）。$\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $2,2,0$，$\boldsymbol{B}$ 的特征值为 $1,3$，特征值不同，且 $\boldsymbol{A}$ 是3阶矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是2阶矩阵，阶数不同，故不相似。

合同矩阵需有相同的正负惯性指数。$\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $2,2,0$，正惯性指数为2，负惯性指数为0。$\boldsymbol{B}$ 的特征值为 $1,3$，正惯性指数为2，负惯性指数为0。两者正负惯性指数相同，故合同。

因此，$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同但不相似，对应选项C。