kaoyan2advanced 线性代数 第302题
📝 题目
### 第302题
已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，下列命题中错误的是 （A）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同． （B）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $9 \boldsymbol{B}$ 合同． （C）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}+k \boldsymbol{E}$ 合同． （D）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．
$\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：实对称矩阵相似必合同，A正确。 步骤2：若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$合同，则$\boldsymbol{A}$与$9\boldsymbol{B}$合同（乘以正数$9$不改变合同性），B正确。 步骤3：$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$与$\boldsymbol{B}+k\boldsymbol{E}$不一定合同，例如$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$合同，但取$k=1$，$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=\begin{bmatrix}2&0\\0&0\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}=\begin{bmatrix}2&0\\0&0\end{bmatrix}$合同，但若$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$合同，取$k=1$，$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=\begin{bmatrix}2&0\\0&0\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$，惯性指数不同，不合同，故C错误。 步骤4：合同则等价，D正确。 **难度**：★★★☆☆