kaoyan2advanced 线性代数 第303题
📝 题目
### 第303题
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列对换得到 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 $i$ 行和第 $j$行对换得到 $\boldsymbol{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ （A）等价但不相似。 （B）合同但不相似． （C）相似但不合同． （D）等价，合同且相似．
建衩荅题时间
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\boldsymbol{C}$由$\boldsymbol{A}$经过行、列对换得到，即存在初等矩阵$\boldsymbol{E}_{ij}$使$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{E}_{ij}\boldsymbol{A}\boldsymbol{E}_{ij}$，且$\boldsymbol{E}_{ij}$可逆且正交。 步骤2：$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{A}$等价（初等变换），合同（$\boldsymbol{E}_{ij}$正交），相似（$\boldsymbol{E}_{ij}^{-1}=\boldsymbol{E}_{ij}$）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：用初等矩阵表示变换
设初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{ij}$ 表示交换第 $i$ 行和第 $j$ 行（或列）的初等变换。由于先对 $\boldsymbol{A}$ 进行列交换得到 $\boldsymbol{B}$，即 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$；再对 $\boldsymbol{B}$ 进行行交换得到 $\boldsymbol{C}$，即 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$。
公式：$$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$$
提示：注意左乘行变换，右乘列变换
步骤 2/6
目标：步骤2：分析等价性
由于 $\boldsymbol{E}_{ij}$ 可逆，$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$ 表明 $\boldsymbol{C}$ 可由 $\boldsymbol{A}$ 经过初等变换得到，因此 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 等价。
公式：$$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$$
提示：注意初等变换矩阵可逆，等价关系成立
步骤 3/6
目标：步骤3：分析合同性
因为 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，且 $\boldsymbol{E}_{ij}$ 是正交矩阵（即 $\boldsymbol{E}_{ij}^T = \boldsymbol{E}_{ij}^{-1}$），所以 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}^T$，满足合同变换的定义，故 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同。
公式：$$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}^T$$
提示：注意正交矩阵的转置等于逆矩阵
步骤 4/6
目标：步骤4：分析相似性
由于 $\boldsymbol{E}_{ij}$ 是正交矩阵，有 $\boldsymbol{E}_{ij}^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}^T = \boldsymbol{E}_{ij}$，因此 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}^{-1}$，满足相似变换的定义，故 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似。
公式：$$\boldsymbol{E}_{ij}^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}^T = \boldsymbol{E}_{ij}$$
提示：注意正交矩阵的逆等于转置
步骤 5/6
目标：步骤5：综合结论
综上所述，$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 等价、合同且相似。
提示：注意矩阵变换的顺序和性质
步骤 6/6
目标：步骤6：选择答案
因此正确选项为 (D) 等价，合同且相似。
提示：注意交换两列后矩阵相似性不变
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