kaoyan2advanced 线性代数 第304题
📝 题目
### 第304题
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 （A） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征值． （B） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的秩． （C） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征向量． （D） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的行列式．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：合同矩阵有相同的正负惯性指数，从而有相同的秩。 步骤2：特征值、特征向量、行列式不一定相同。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：理解合同的定义
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$，则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同。
公式：$$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$$
提示：注意C必须可逆，且A、B为实对称矩阵
步骤 2/6
目标：步骤2：分析合同的性质
合同矩阵具有相同的正负惯性指数，即正特征值的个数和负特征值的个数分别相等。由于秩等于正特征值个数加负特征值个数，因此合同矩阵的秩相同。
提示：合同矩阵秩相同，但逆不成立
步骤 3/6
目标：步骤3：检验选项（A）特征值
特征值不一定相同。例如，$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，取 $\boldsymbol{C} = \sqrt{2} \boldsymbol{I}$，则 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$，但特征值不同。
提示：合同不保证特征值相同
步骤 4/6
目标：步骤4：检验选项（C）特征向量
特征向量不一定相同。例如，$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征向量为任意非零向量，而 $\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征向量也为任意非零向量，但一般情况下，合同变换会改变特征向量的方向。
提示：合同变换不保证特征向量相同
步骤 5/6
目标：步骤5：检验选项（D）行列式
行列式不一定相同。由 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 得 $\det(\boldsymbol{B}) = \det(\boldsymbol{C}^T) \det(\boldsymbol{A}) \det(\boldsymbol{C}) = (\det(\boldsymbol{C}))^2 \det(\boldsymbol{A})$，除非 $\det(\boldsymbol{C}) = \pm 1$，否则行列式不同。
公式：$$\det(\boldsymbol{B}) = (\det(\boldsymbol{C}))^2 \det(\boldsymbol{A})$$
提示：注意合同变换矩阵行列式不一定为±1
步骤 6/6
目标：步骤6：得出结论
只有选项（B）正确，即 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的秩。
提示：合同矩阵秩相同，但特征值不一定相同。
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