kaoyan2advanced 线性代数 第305题

教材习题

📝 题目

### 第305题

与二次型 $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既合同又相似的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -8\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & -2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ．

建被答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 科估

有点难区1或

## 解 答 题

💡 答案解析

**答案**：A **解析**：步骤1：二次型$f$的矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&3&0\\3&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$，特征多项式为$(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda-8)=(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+2)$，特征值为$4,2,-2$。 步骤2：$\boldsymbol{A}$为实对称矩阵，可相似对角化，相似于$\operatorname{diag}(4,2,-2)$。 步骤3：$\boldsymbol{A}$的正惯性指数$p=2$，负惯性指数$q=1$，选项A的矩阵$\operatorname{diag}(1,2,-8)$正惯性指数$2$，负惯性指数$1$，合同；且特征值$1,2,-8$与$4,2,-2$不成比例，但相似要求特征值相同，故A不相似。重新检查：$\boldsymbol{A}$的特征值为$4,2,-2$，选项A的特征值为$1,2,-8$，不相似；选项B特征值$4,2,-2$，与$\boldsymbol{A}$相同，且均为实对称，故既合同又相似。 **答案更正**：B **解析**：步骤1：二次型$f$的矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&3&0\\3&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$，特征值为$4,2,-2$。 步骤2：$\boldsymbol{A}$为实对称矩阵，可相似对角化，相似于$\operatorname{diag}(4,2,-2)$。 步骤3：选项B的矩阵$\operatorname{diag}(4,2,-2)$与$\boldsymbol{A}$特征值相同，故相似；正负惯性指数相同，故合同。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：写出二次型的矩阵并计算特征值
二次型 $f = x_1^2 + x_2^2 + 2x_3^2 + 6x_1x_2$ 的矩阵为 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$。计算特征多项式：$|\lambda\boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -3 & 0 \\ -3 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)[(\lambda-1)^2 - 9] = (\lambda-2)(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = (\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+2)$，特征值为 $\lambda_1 = 4, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = -2$。
公式：$$|\lambda\boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}| = 0$$
提示：注意交叉项系数要除以2
步骤 2/5
目标：确定相似对角化矩阵
$\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，必可相似对角化，且相似于由特征值构成的对角矩阵 $\operatorname{diag}(4, 2, -2)$。
公式：$$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$$
提示：实对称矩阵必可相似对角化
步骤 3/5
目标：分析合同条件
合同要求正负惯性指数相同。$\boldsymbol{A}$ 的正惯性指数 $p = 2$（特征值正数个数），负惯性指数 $q = 1$（特征值负数个数）。选项 A 的特征值为 $1, 2, -8$，$p=2, q=1$，合同；选项 B 的特征值为 $4, 2, -2$，$p=2, q=1$，合同；选项 C 的特征值为 $1, 3, 0$，$p=2, q=0$，不合同；选项 D 的特征值为 $1, 1, -1$，$p=2, q=1$，合同。
提示：注意合同要求正负惯性指数相同，与特征值大小无关
步骤 4/5
目标：结合相似条件选择答案
相似要求特征值完全相同（包括重数）。$\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $4, 2, -2$，只有选项 B 的特征值与之相同，且均为实对称矩阵，故选项 B 既合同又相似。
提示：注意相似要求特征值完全相同
步骤 5/5
目标：最终答案
因此，正确选项为 B。
公式：$$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
提示：注意合同与相似的条件区别

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