kaoyan2advanced 线性代数 第306题

教材习题

📝 题目

### 第306题

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，若矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足： $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}-9 \boldsymbol{E}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：计算$\boldsymbol{A}$的行列式$|\boldsymbol{A}|=-1$，则$\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1}=-\boldsymbol{A}^{-1}$。 步骤2：原方程化为$-\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=2\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}-9\boldsymbol{E}$，左乘$\boldsymbol{A}$得$-\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=2\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}-9\boldsymbol{A}$。 步骤3：右乘$\boldsymbol{A}^{-1}$得$-\boldsymbol{B}=2\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}-9\boldsymbol{E}$，整理得$2\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}=9\boldsymbol{E}$，即$(2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})\boldsymbol{B}=9\boldsymbol{E}$。 步骤4：$2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=\begin{bmatrix}3&2&0\\0&3&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$，可逆，$\boldsymbol{B}=9(2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}$。 步骤5：计算逆矩阵得$\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：计算矩阵A的行列式及伴随矩阵
计算 $\boldsymbol{A}$ 的行列式：$|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 \times (-1) = -1$。由伴随矩阵性质 $\boldsymbol{A}^{*} = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1} = -\boldsymbol{A}^{-1}$。
公式：$$|\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 \times (-1) = -1$$
提示：上三角矩阵行列式等于主对角线元素乘积
步骤 2/6
目标：代入原方程并化简
原方程 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} = 2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} - 9 \boldsymbol{E}$ 化为 $-\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} = 2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} - 9 \boldsymbol{E}$。左乘 $\boldsymbol{A}$ 得 $-\boldsymbol{B} \boldsymbol{A} = 2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} - 9 \boldsymbol{A}$。
公式：$$\boldsymbol{A}^{*} = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}$$
提示：注意伴随矩阵与逆矩阵的关系，左乘时不要漏项。
步骤 3/6
目标：右乘逆矩阵并整理
右乘 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 得 $-\boldsymbol{B} = 2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} - 9 \boldsymbol{E}$。移项整理得 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} + \boldsymbol{B} = 9 \boldsymbol{E}$，即 $(2 \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) \boldsymbol{B} = 9 \boldsymbol{E}$。
公式：$$(2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})\boldsymbol{B}=9\boldsymbol{E}$$
提示：注意移项时符号变化
步骤 4/6
目标：计算矩阵2A+E及其逆矩阵
计算 $2 \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$。该矩阵可逆，其逆矩阵为 $\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{9} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$。
公式：$$(2A+E)^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{9} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$
提示：注意对角矩阵求逆时非零元素取倒数
步骤 5/6
目标：求解矩阵B
由 $(2 \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}) \boldsymbol{B} = 9 \boldsymbol{E}$ 得 $\boldsymbol{B} = 9 (2 \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E})^{-1} = 9 \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{9} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \end{bmatrix}$。
公式：$$\boldsymbol{B} = 9 (2 \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E})^{-1}$$
提示：注意逆矩阵计算和系数乘法顺序
步骤 6/6
目标：最终答案
因此，矩阵 $\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \end{bmatrix}$。
提示：注意矩阵乘法的顺序和符号

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