kaoyan2advanced 线性代数 第307题
📝 题目
### 第307题
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足条件 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ． （1）证明 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆． （2）求秩 $r(\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{B A}+2 \boldsymbol{E})$ ． （3）如果 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）见解析；（2）$n$；（3）$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&3&1\\1&0&1\end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$得$\boldsymbol{AB}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}$，即$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})=\boldsymbol{E}$，故$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$可逆。 步骤2：由（1）知$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$可逆，且$\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}$，则$\boldsymbol{AB}-\boldsymbol{BA}+2\boldsymbol{E}=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})-(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})+2\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{E}=2\boldsymbol{E}$，秩为$n$。 步骤3：由$\boldsymbol{B}$得$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})^{-1}$，计算$\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&1\\1&0&0\end{bmatrix}$，逆矩阵为$\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\-2&1&0\end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&3&1\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\-2&1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&3&1\\1&0&1\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆