kaoyan2advanced 线性代数 第308题
📝 题目
### 第308题
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & a & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 等价，求 $a$ 的值并求一个满足要求 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $Q$ 使 $\boldsymbol{P A Q}=\boldsymbol{B}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=2$，$\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix}1&-3&3\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}$ **解析**：步骤1：矩阵等价则秩相等，计算$|\boldsymbol{A}|=2$，$\boldsymbol{A}$满秩，故$\boldsymbol{B}$也满秩，$|\boldsymbol{B}|=a$，得$a=2$。 步骤2：对$\boldsymbol{A}$进行初等行变换和列变换化为$\boldsymbol{B}$，$\boldsymbol{A}$右乘$\boldsymbol{Q}$（列变换）得$\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$，$\boldsymbol{P}$取单位阵。 步骤3：解$\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$得$\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1&-3&3\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆