kaoyan2advanced 线性代数 第309题

教材习题

📝 题目

### 第309题

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(3,10$ ， $b, 4)^{\mathrm{T}}$ 线性相关． （1）求 $a, b$ 的值． （2）判断 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示？如能，写出表达式． （3）求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的一个极大线性无关组． （1）求 $a$ 的值． （2）求满足 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B}$ 的所有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ． 建议答题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

💡 答案解析

**答案**：（1）$a=1,b=5$；（2）能，$\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$；（3）$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ **解析**：步骤1：向量组线性相关，则矩阵$[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4]$的秩小于$4$，计算行列式得$a=1,b=5$。 步骤2：解线性方程组得$\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$。 步骤3：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，为一个极大线性无关组。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：步骤1：利用线性相关条件建立方程
向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关，则矩阵 $A = [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4]$ 的秩小于4，即行列式 $\det(A) = 0$。计算行列式： $$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 4 & 7 & 1 & 10 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 2 & 3 & a & 4 \end{pmatrix} = 0$$ 按第一行展开或利用初等变换，得 $a=1, b=5$。
公式：$$\det(A)=0$$
提示：注意行列式计算时符号和展开顺序
步骤 2/4
目标：步骤2：判断 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示
设 $\boldsymbol{\alpha}_4 = x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + x_3 \boldsymbol{\alpha}_3$，代入 $a=1, b=5$ 得线性方程组： $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 3 \\ 4x_1 + 7x_2 + x_3 = 10 \\ x_2 - x_3 = 5 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 \end{cases}$$ 解得 $x_1=1, x_2=1, x_3=0$，故 $\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$，能线性表示。
提示：注意代入参数后正确列出方程组
步骤 3/4
目标：步骤3：求向量组的一个极大线性无关组
由步骤1知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关（因为 $\det[\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3] \neq 0$），且 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可由它们线性表示，故 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是一个极大线性无关组。
提示：注意行列式非零是线性无关的充要条件
步骤 4/4
目标：步骤4：给出最终答案
（1）$a=1, b=5$； （2）能，$\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$； （3）极大线性无关组为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$。
提示：注意向量组线性相关与线性表示的关系

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