kaoyan2advanced 线性代数 第311题
📝 题目
### 第311题
设向量组（I）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,0,-8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(9,6,-25)^{\mathrm{T}}$ ， （II）： $\boldsymbol{\beta}_{1}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(a, 2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(b, 1,0)^{\mathrm{T}}$ ， 若 $r$（I）$=r$（II）且 $\beta_{2}$ 可由（I ）线性表出，求 $a, b$ 的值，并判断向量组（I）（II）是否等价． 建议荅题时问
💡 答案解析
**答案**：$a=1,b=2$，向量组（I）与（II）等价 **解析**：步骤1：计算$r(\text{I})$，矩阵$[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3]$的行列式为$0$，秩为$2$，故$r(\text{II})=2$。 步骤2：$\boldsymbol{\beta}_2$可由（I）线性表出，设$\boldsymbol{\beta}_2=x\boldsymbol{\alpha}_1+y\boldsymbol{\alpha}_2$，解得$x=1,y=0$，得$a=1$。 步骤3：由$r(\text{II})=2$，$[\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3]$行列式为$0$，代入$a=1$得$b=2$。 步骤4：$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2$线性无关，且$\boldsymbol{\beta}_3$可由$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2$线性表示，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$也可由$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2$线性表示，故等价。 **难度**：★★★☆☆