kaoyan2advanced 线性代数 第313题
📝 题目
### 第313题
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 7\end{array}\right]$ ，当 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解？此时求方程组的通解．
建设荅题时问 $\leqslant 13 \mathrm{~min}$
sㅓㄴㅏㅜㄹ 㹂记
💡 答案解析
**答案**：$a=2$，通解为$\boldsymbol{x}=(-1,2,0)^{\mathrm{T}}+k(-1,0,1)^{\mathrm{T}}$，$k$为任意常数。 **解析**： 步骤1：写出增广矩阵$\overline{\boldsymbol{A}}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & 2 & a & 3\\1 & 4 & a^2 & 7\end{bmatrix}$，初等行变换： $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & a-1 & 2\\0 & 3 & a^2-1 & 6\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & a-1 & 2\\0 & 0 & (a-1)(a-2) & 0\end{bmatrix}$。 步骤2：有无穷多解，则$r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})<3$，故$(a-1)(a-2)=0$且$0=0$，得$a=2$（$a=1$时$r(\boldsymbol{A})=2$但$r(\overline{\boldsymbol{A}})=3$，无解）。 步骤3：代入$a=2$，得$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$，同解方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_2+x_3=2\end{cases}$，取$x_3$为自由变量，得通解$\boldsymbol{x}=(-1,2,0)^{\mathrm{T}}+k(-1,0,1)^{\mathrm{T}}$。 **难度**：★★☆☆☆