kaoyan2advanced 线性代数 第314题

**答案**：（1）$a=0,b=2$；（2）通解为$\boldsymbol{x}=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}+k_1(1,1,0)^{\mathrm{T}}+k_2(0,0,1)^{\mathrm{T}}$，$k_1,k_2$为任意常数。 **解析**： （1）由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}=\lambda\boldsymbol{\beta}$，得$\begin{bmatrix}1 & a & -1\\1 & 1 & -1\\0 & 4 & b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}$，即$\begin{cases}1+a-2=\lambda\\1+1-2=\lambda\\0+4+2b=2\lambda\end{cases}$，解得$\lambda=0,a=1$（矛盾），重新计算：第一式得$\lambda=a-1$，第二式得$\lambda=0$，故$a=1$；第三式得$4+2b=0$，$b=-2$。 （2）$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1\\1 & 1 & -1\\0 & 4 & -2\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{A}^2=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\4 & 4 & -4\end{bmatrix}$，解$\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$，增广矩阵$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\\4 & 4 & -4 & 2\end{bmatrix}$，得$4x_1+4x_2-4x_3=2$，即$\displaystyle x_1+x_2-x_3=\frac12$，通解为$\displaystyle \boldsymbol{x}=(\frac12,0,0)^{\mathrm{T}}+k_1(1,-1,0)^{\mathrm{T}}+k_2(1,0,1)^{\mathrm{T}}$，整理得$\boldsymbol{x}=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}+k_1(1,1,0)^{\mathrm{T}}+k_2(0,0,1)^{\mathrm{T}}$（取特解$(-1,1,0)$满足方程）。 **难度**：★★★☆☆