📝 题目
### 第315题
（2018，数农）已知 $A(1,1), B(2,2), C(a, 1)$ 为坐标平面上的点，其中 $a$ 为参数，问是否存在经过点 $A, B, C$ 的曲线 $y=k_{1} x+k_{2} x^{2}+k_{3} x^{3}$ ？如果存在，求出曲线方程．
💡 答案解析
**答案**：存在，曲线方程为$y=-x+2x^2$。 **解析**： 步骤1：设曲线$y=k_1x+k_2x^2+k_3x^3$，代入三点： $A(1,1)$：$k_1+k_2+k_3=1$； $B(2,2)$：$2k_1+4k_2+8k_3=2$； $C(a,1)$：$ak_1+a^2k_2+a^3k_3=1$。 步骤2：前两式化简得$k_1+k_2+k_3=1$，$k_1+2k_2+4k_3=1$，相减得$k_2+3k_3=0$，即$k_2=-3k_3$，代入得$k_1=1+2k_3$。 步骤3：代入第三式：$a(1+2k_3)+a^2(-3k_3)+a^3k_3=1$，即$a + (2a-3a^2+a^3)k_3=1$，需对任意$a$成立，取$a=1$得$1+(2-3+1)k_3=1$恒成立；取$a=2$得$2+(4-12+8)k_3=1$，即$2=1$矛盾，故需$k_3=0$，则$k_2=0,k_1=1$，曲线为$y=x$，但$C$点需满足$1=a$，即$a=1$时存在。 重新审题：三点不共线时存在唯一曲线，由前两点得$k_1=1+2k_3,k_2=-3k_3$，代入$C$得$a(1+2k_3)+a^2(-3k_3)+a^3k_3=1$，即$a + k_3(2a-3a^2+a^3)=1$，若$a=1$，则$1+0=1$恒成立，取$k_3=0$得$y=x$；若$a\neq1$，则$\displaystyle k_3=\frac{1-a}{2a-3a^2+a^3}=\frac{1-a}{a(1-a)(a-2)}=\frac{1}{a(a-2)}$，当$a\neq0,2$时存在。故存在曲线，例如取$a=3$，$\displaystyle k_3=\frac{1}{3}$，$k_2=-1$，$\displaystyle k_1=\frac53$，曲线$\displaystyle y=\frac53x-x^2+\frac13x^3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：设曲线方程并代入三点坐标
设曲线方程为 $y = k_1 x + k_2 x^2 + k_3 x^3$，代入 $A(1,1)$、$B(2,2)$、$C(a,1)$ 得：
$$
\begin{cases}
k_1 + k_2 + k_3 = 1 & \text{(1)} \\
2k_1 + 4k_2 + 8k_3 = 2 & \text{(2)} \\
ak_1 + a^2 k_2 + a^3 k_3 = 1 & \text{(3)}
\end{cases}
$$
公式：$$y = k_1 x + k_2 x^2 + k_3 x^3$$
提示：注意代入时系数对应正确
目标：化简前两个方程，用 $k_3$ 表示 $k_1$ 和 $k_2$
将方程(2)两边除以2得 $k_1 + 2k_2 + 4k_3 = 1$，与方程(1)相减得 $(k_1+2k_2+4k_3) - (k_1+k_2+k_3) = 1-1$，即 $k_2 + 3k_3 = 0$，所以 $k_2 = -3k_3$。代入(1)得 $k_1 - 3k_3 + k_3 = 1$，即 $k_1 = 1 + 2k_3$。
提示：注意方程相减时各项对齐
目标：代入第三个方程，讨论参数 $a$ 和 $k_3$
将 $k_1 = 1+2k_3$，$k_2 = -3k_3$ 代入(3)：
$$
a(1+2k_3) + a^2(-3k_3) + a^3 k_3 = 1
$$
整理得 $a + (2a - 3a^2 + a^3)k_3 = 1$，即 $a + a(a-1)(a-2)k_3 = 1$。
- 若 $a=1$，则方程恒成立，此时 $k_3$ 任意，取 $k_3=0$ 得 $y=x$。
- 若 $a=2$，则方程变为 $2 + 0 \cdot k_3 = 1$，矛盾，无解。
- 若 $a=0$，则方程变为 $0 + 0 \cdot k_3 = 1$，矛盾，无解。
- 当 $a \neq 0,1,2$ 时，解得 $k_3 = \frac{1-a}{a(a-1)(a-2)} = \frac{1}{a(a-2)}$，进而 $k_2 = -\frac{3}{a(a-2)}$，$k_1 = 1 + \frac{2}{a(a-2)}$。
公式：$$a + a(a-1)(a-2)k_3 = 1$$
提示：注意参数a的取值分类讨论
目标：总结存在性并给出曲线方程
综上所述，当 $a=1$ 时，存在曲线 $y=x$；当 $a \neq 0,1,2$ 时，存在曲线 $y = \left(1+\frac{2}{a(a-2)}\right)x - \frac{3}{a(a-2)}x^2 + \frac{1}{a(a-2)}x^3$；当 $a=0$ 或 $a=2$ 时，不存在这样的曲线。因此，存在经过点 $A,B,C$ 的曲线，例如取 $a=3$ 得 $y = \frac{5}{3}x - x^2 + \frac{1}{3}x^3$。
提示：注意参数a的取值分类讨论