📝 题目
### 第318题
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是线性无关的三维列向量，且满足
$$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3} .$ $$
（1）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值． （2）判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似对角化，说明理由．公众号：旗胜考研 （3）求秩 $r\left(\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}\right)$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）特征值为$1, -1, -1$；（2）不能相似对角化，理由：二重特征值$-1$的几何重数为1；（3）$r(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A})=1$。 **解析**： （1）由已知，$\boldsymbol{A}[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3]=[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3]\begin{bmatrix}3 & 2 & -2\\0 & -1 & 0\\4 & 2 & -3\end{bmatrix}$，记$\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}3 & 2 & -2\\0 & -1 & 0\\4 & 2 & -3\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，特征值相同。计算$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|=(\lambda-1)(\lambda+1)^2$，特征值为$1,-1,-1$。 （2）对于特征值$-1$，$(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E})=\begin{bmatrix}4 & 2 & -2\\0 & 0 & 0\\4 & 2 & -2\end{bmatrix}$，秩为1，几何重数$3-1=2$，但代数重数为2，故可对角化？实际计算：$(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E})$秩为1，几何重数2，可对角化。但题目中$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，故$\boldsymbol{A}$可对角化。 （3）$\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$，特征值为$1\cdot2=2, (-1)\cdot0=0, (-1)\cdot0=0$，非零特征值个数为1，故$r(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A})=1$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
目标：步骤1：构造矩阵B并建立相似关系
由已知条件，$\boldsymbol{A}[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3] = [\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3] \begin{bmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \end{bmatrix}$。记 $\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \end{bmatrix}$，由于 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，故 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，从而有相同的特征值。
公式：$$\boldsymbol{A}[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3] = [\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3] \begin{bmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \end{bmatrix}$$
提示：注意线性无关保证相似性
目标：步骤2：计算矩阵B的特征值
计算特征多项式：$|\lambda\boldsymbol{E} - \boldsymbol{B}| = \begin{vmatrix} \lambda-3 & -2 & 2 \\ 0 & \lambda+1 & 0 \\ -4 & -2 & \lambda+3 \end{vmatrix} = (\lambda+1) \begin{vmatrix} \lambda-3 & 2 \\ -4 & \lambda+3 \end{vmatrix} = (\lambda+1)[(\lambda-3)(\lambda+3) + 8] = (\lambda+1)(\lambda^2 - 9 + 8) = (\lambda+1)(\lambda^2 - 1) = (\lambda+1)^2(\lambda-1)$。因此特征值为 $\lambda_1 = 1$（单根），$\lambda_2 = \lambda_3 = -1$（二重根）。
公式：$$|\lambda\boldsymbol{E} - \boldsymbol{B}| = (\lambda+1)^2(\lambda-1)$$
提示：注意行列式展开时不要漏项
目标：步骤3：判断矩阵A能否相似对角化
对于特征值 $\lambda = -1$，计算 $\boldsymbol{B} + \boldsymbol{E} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \end{bmatrix}$，其秩为1，故几何重数 $= 3 - 1 = 2$，等于代数重数2，因此 $\boldsymbol{B}$ 可相似对角化。由于 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，故 $\boldsymbol{A}$ 也可相似对角化。
提示：注意几何重数与代数重数相等才可对角化
目标：步骤4：求矩阵A^2+A的秩
由 $\boldsymbol{A}$ 可对角化，存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{-1}$，其中 $\boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(1, -1, -1)$。则 $\boldsymbol{A}^2 + \boldsymbol{A} = \boldsymbol{P} (\boldsymbol{\Lambda}^2 + \boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{P}^{-1}$，而 $\boldsymbol{\Lambda}^2 + \boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(1^2+1, (-1)^2+(-1), (-1)^2+(-1)) = \operatorname{diag}(2, 0, 0)$。非零特征值个数为1，故 $r(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}) = 1$。
公式：$$\boldsymbol{A}^2 + \boldsymbol{A} = \boldsymbol{P} (\boldsymbol{\Lambda}^2 + \boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{P}^{-1}$$
提示：注意对角化后计算多项式矩阵的秩
目标：步骤5：给出最终答案
（1）特征值为 $1, -1, -1$；
（2）能相似对角化，理由：二重特征值 $-1$ 的几何重数为2，等于代数重数；
（3）$r(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}) = 1$。
提示：注意几何重数与代数重数的关系