kaoyan2advanced 线性代数 第319题
📝 题目
### 第319题
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0\end{array}\right]$ 有 3 个线性无关的特征向量，求 $a$ ，并求 $\boldsymbol{A}^{n}$ ． 建衤荅䎠时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$ 神佔
💡 答案解析
**答案**：$a=1$，$\displaystyle \boldsymbol{A}^n=\begin{bmatrix}2^n & \frac{2^n-(-1)^n}{3} & \frac{2^n-(-1)^n}{3}\\0 & (-1)^n & 0\\3\cdot2^{n-1} & \frac{3\cdot2^{n-1}-(-1)^n}{2} & \frac{3\cdot2^{n-1}-(-1)^n}{2}\end{bmatrix}$。 **解析**： 步骤1：$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=(\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda-1)$，特征值为$2,-1,1$。有3个线性无关特征向量，故可对角化。 步骤2：求特征向量：$\lambda=2$时，解$(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}=0$，得$\boldsymbol{\xi}_1=(1,0,3)^{\mathrm{T}}$；$\lambda=-1$时，得$\boldsymbol{\xi}_2=(a, -3, 2a-3)^{\mathrm{T}}$；$\lambda=1$时，得$\boldsymbol{\xi}_3=(1,0,1)^{\mathrm{T}}$。需三个线性无关，取$a=1$。 步骤3：令$\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3]=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & -3 & 0\\3 & -1 & 1\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\mathrm{diag}(2,-1,1)$，则$\boldsymbol{A}^n=\boldsymbol{P}\mathrm{diag}(2^n,(-1)^n,1)\boldsymbol{P}^{-1}$，计算得结果。 **难度**：★★★★☆