kaoyan2advanced 线性代数 第320题

教材习题

📝 题目

### 第320题

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{t}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系， $\boldsymbol{\beta}$ 不是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，证明 $\boldsymbol{\beta}+ \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{t}$ 线性无关。 建仪答题时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

💡 答案解析

**答案**：证明见解析。 **解析**： 步骤1：设$k_1(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_1)+k_2(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_2)+\cdots+k_t(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_t)=\boldsymbol{0}$，即$(\sum_{i=1}^t k_i)\boldsymbol{\beta}+\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\alpha}_i=\boldsymbol{0}$。 步骤2：左乘$\boldsymbol{A}$，得$(\sum k_i)\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$，因$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}\neq\boldsymbol{0}$，故$\sum k_i=0$。 步骤3：代入得$\sum k_i\boldsymbol{\alpha}_i=\boldsymbol{0}$，由$\boldsymbol{\alpha}_i$线性无关，得$k_i=0$，故向量组线性无关。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：步骤1：设线性组合为零
设存在一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_t$，使得 $k_1(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_1) + k_2(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_2) + \cdots + k_t(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_t) = \boldsymbol{0}$。整理得 $(\sum_{i=1}^t k_i)\boldsymbol{\beta} + \sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\alpha}_i = \boldsymbol{0}$。
公式：$$k_1(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_1) + k_2(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_2) + \cdots + k_t(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_t) = \boldsymbol{0}$$
提示：注意系数合并时求和符号的运用
步骤 2/5
目标：步骤2：左乘矩阵A
将上式左乘矩阵 $\boldsymbol{A}$，利用 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_i = \boldsymbol{0}$（因为 $\boldsymbol{\alpha}_i$ 是齐次方程组的解），得 $(\sum_{i=1}^t k_i)\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{0}$。由于 $\boldsymbol{\beta}$ 不是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解，即 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta} \neq \boldsymbol{0}$，因此系数必须为零：$\sum_{i=1}^t k_i = 0$。
公式：$$\sum_{i=1}^t k_i = 0$$
提示：注意Aβ非零，系数和必为零
步骤 3/5
目标：步骤3：代入原式
将 $\sum_{i=1}^t k_i = 0$ 代入步骤1的等式，得到 $\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\alpha}_i = \boldsymbol{0}$。
提示：注意系数和为零的条件代入
步骤 4/5
目标：步骤4：利用基础解系的线性无关性
因为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_t$ 是基础解系，它们线性无关，所以由 $\sum_{i=1}^t k_i\boldsymbol{\alpha}_i = \boldsymbol{0}$ 可得 $k_1 = k_2 = \cdots = k_t = 0$。
提示：注意基础解系线性无关的定义
步骤 5/5
目标：步骤5：结论
由 $k_1 = k_2 = \cdots = k_t = 0$ 可知，向量组 $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_t$ 线性无关。
提示：注意系数全为零的推导条件

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第319题 返回列表 第321题 →