kaoyan2advanced 线性代数 第321题
📝 题目
### 第321题
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ t-1 & -1 & t\end{array}\right]$ 有二重特征值． （1）求 $t$ 的值． （2） $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵？若能，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵．
## 建议荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：（1）$t=1$或$t=3$；（2）当$t=1$时，可对角化，$\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 0\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\mathrm{diag}(2,2,3)$；当$t=3$时，不可对角化。 **解析**： （1）$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=(\lambda-2)^2(\lambda-3)$，特征值$2$（二重），$3$（单根）。二重特征值需满足$r(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})=1$。 $\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\\t-1 & -1 & t-2\end{bmatrix}$，秩为1时，两行成比例，得$t=1$或$t=3$。 （2）$t=1$时，$r(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})=1$，几何重数$3-1=2$，可对角化；$t=3$时，$r(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})=2$，几何重数$1$，不可对角化。 **难度**：★★★★☆