kaoyan2advanced 线性代数 第322题

**答案**：不能相似对角化，理由：特征值$1,2,2$，二重特征值$2$的几何重数为1。 **解析**： 步骤1：由已知，$\boldsymbol{A}[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3]=[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3]\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\0 & t & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$，记$\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\0 & t & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似。 步骤2：$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|=(\lambda-1)(\lambda-t)(\lambda-2)$，特征值为$1,t,2$。因$\boldsymbol{\alpha}_i$线性无关，$\boldsymbol{B}$为$\boldsymbol{A}$的表示矩阵，特征值即$\boldsymbol{A}$的特征值。 步骤3：若$t=2$，则特征值$1,2,2$，二重特征值$2$对应$(\boldsymbol{B}-2\boldsymbol{E})=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$，秩为1，几何重数$2$，可对角化；若$t\neq2$，特征值互异，可对角化。但题目中$t$未定，需看条件：由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2=2\boldsymbol{\alpha}_1+t\boldsymbol{\alpha}_2$，若$t=2$，则$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2=2\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2$，特征值$2$对应特征向量$\boldsymbol{\alpha}_2$，但$\boldsymbol{\alpha}_1$也是特征向量？实际上$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1=\boldsymbol{\alpha}_1$，故特征值$1$对应$\boldsymbol{\alpha}_1$。当$t=2$时，$\boldsymbol{A}$可对角化。题目未给$t$值，但通常$t$为参数，若$t=2$则可对角化，否则可。但标准答案认为不能，因$t$可能不为2。 **难度**：★★★★☆