kaoyan2advanced 线性代数 第323题
📝 题目
### 第323题
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-2,3)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & a & -2 \\ -3 & b & 5\end{array}\right]$ 的一个特征向量． （1）求 $a, b$ 的值． （2）判断 $\boldsymbol{A}$ 能否相似对角化？若能，则求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ，若不能，则讲清理由．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=3,b=2$；（2）不能相似对角化，理由：特征值$2$（二重）的几何重数为1。 **解析**： （1）由$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$，得$\begin{bmatrix}1 & -1 & 1\\2 & a & -2\\-3 & b & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-2\\3\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}1\\-2\\3\end{bmatrix}$，解得$\lambda=2$，$a=3$，$b=2$。 （2）$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & -1 & 1\\2 & 3 & -2\\-3 & 2 & 5\end{bmatrix}$，$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=(\lambda-2)^2(\lambda-5)$，特征值$2$（二重），$5$（单根）。$\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E}=\begin{bmatrix}-1 & -1 & 1\\2 & 1 & -2\\-3 & 2 & 3\end{bmatrix}$，秩为2，几何重数$3-2=1$，故不能对角化。 **难度**：★★★★☆