📝 题目
### 第324题
设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $1,-2,0$ ，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $1,-2$ 的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 。 （1）求 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 0 的特征向量． （2）求二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ ． （3）如二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，求 $k$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,1)^{\mathrm{T}}$；（2）$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=x_1^2-2x_2^2-2x_1x_3$；（3）$k=1$。 **解析**： （1）实对称矩阵不同特征值特征向量正交，设$\boldsymbol{\alpha}_3=(x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}$，则$\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_3=0$，$\boldsymbol{\alpha}_2^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_3=0$，得$\begin{cases}-x_1-x_2+x_3=0\\x_1+ax_2-x_3=0\end{cases}$，由$\boldsymbol{\alpha}_2$与$\boldsymbol{\alpha}_1$正交得$(-1,-1,1)\cdot(1,a,-1)=0$，即$-1-a-1=0$，$a=-2$，代入得$\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,1)^{\mathrm{T}}$。 （2）取$\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3]$单位化，得正交矩阵$\boldsymbol{Q}$，则$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\mathrm{diag}(1,-2,0)\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}$，计算得$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1\\0 & -2 & 0\\-1 & 0 & 0\end{bmatrix}$，二次型为$x_1^2-2x_2^2-2x_1x_3$。 （3）$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$特征值为$1+k, -2+k, k$，规范形为$y_1^2+y_2^2-y_3^2$，即一个负特征值，两个正特征值，故$1+k>0$，$-2+k<0$，$k>0$，解得$0
📋 详细解题步骤
目标：求参数a及属于特征值0的特征向量
由于$\boldsymbol{A}$是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量正交。由$\boldsymbol{\alpha}_1$与$\boldsymbol{\alpha}_2$正交得：$\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_2 = (-1,-1,1)\cdot(1,a,-1) = -1 - a - 1 = 0$，解得$a = -2$。设属于特征值0的特征向量为$\boldsymbol{\alpha}_3 = (x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}$，则$\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_3 = 0$且$\boldsymbol{\alpha}_2^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_3 = 0$，即$\begin{cases} -x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 - 2x_2 - x_3 = 0 \end{cases}$，解得基础解系为$(1,0,1)^{\mathrm{T}}$，故$\boldsymbol{\alpha}_3 = (1,0,1)^{\mathrm{T}}$。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_2 = 0$$
提示：实对称矩阵不同特征值特征向量正交
目标：求矩阵A及二次型
将特征向量单位化：$\boldsymbol{\beta}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$，$\boldsymbol{\beta}_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,-1)^{\mathrm{T}}$，$\boldsymbol{\beta}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)^{\mathrm{T}}$。构造正交矩阵$\boldsymbol{Q} = [\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3]$，则$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}\mathrm{diag}(1,-2,0)\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}$。计算得$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，故二次型$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = x_1^2 - 2x_2^2 - 2x_1x_3$。
公式：$$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}\mathrm{diag}(1,-2,0)\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}$$
提示：单位化特征向量时注意模长计算
目标：求参数k
$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$的特征值为$1+k,\, -2+k,\, k$。二次型$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}$的规范形为$y_1^2+y_2^2-y_3^2$，表明有两个正特征值和一个负特征值。因此需满足$1+k > 0$，$-2+k < 0$，$k > 0$，解得$0 < k < 2$。取$k=1$（满足条件的整数）。
公式：$$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$$的特征值为$$1+k,\, -2+k,\, k$$
提示：注意规范形中正负号对应特征值符号
目标：答案
（1）$\boldsymbol{\alpha}_3 = (1,0,1)^{\mathrm{T}}$；（2）$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = x_1^2 - 2x_2^2 - 2x_1x_3$；（3）$k=1$。
提示：注意特征向量正交性及二次型配方法