kaoyan2advanced 线性代数 第325题
📝 题目
### 第325题
二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\boldsymbol{x}=Q \boldsymbol{y}$ 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换． （3）若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 是正定矩阵，求 $k$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1$；（2）标准形$2y_1^2+2y_2^2$，正交变换$\displaystyle \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}\boldsymbol{y}$；（3）$k>0$。 **解析**： （1）二次型矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1 & -1\\1 & 2 & a\\-1 & a & 0\end{bmatrix}$，秩为2，则$|\boldsymbol{A}|=0$，计算得$-a^2+2a-1=0$，$a=1$。 （2）$a=1$时，$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 0\end{bmatrix}$，特征值$0,2,2$。求特征向量：$\lambda=2$时，$(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}=0$，得$\boldsymbol{\xi}_1=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$，$\boldsymbol{\xi}_2=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$，正交化单位化得$\displaystyle \boldsymbol{\eta}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$，$\displaystyle \boldsymbol{\eta}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^{\mathrm{T}}$；$\lambda=0$时，$\boldsymbol{\xi}_3=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$，单位化$\displaystyle \boldsymbol{\eta}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$。正交变换矩阵$\boldsymbol{Q}=[\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\boldsymbol{\eta}_3]$，标准形$2y_1^2+2y_2^2$。 （3）$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$特征值为$k,2+k,2+k$，正定需$k>0$。 **难度**：★★★★☆