kaoyan2advanced 线性代数 第326题

**答案**：（1）$\displaystyle \boldsymbol{A}^{-1}=\frac13(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})$；（2）$|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=5$；（3）证明见解析。 **解析**： （1）由$\boldsymbol{A}^2-2\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$，得$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})=3\boldsymbol{E}$，故$\boldsymbol{A}$可逆，且$\displaystyle \boldsymbol{A}^{-1}=\frac13(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})$。 （2）设$\boldsymbol{A}$特征值为$\lambda$，则$\lambda^2-2\lambda-3=0$，得$\lambda=3$或$\lambda=-1$。$|\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{E}|=25$，即$(\lambda+2)$的乘积为25，设特征值中3有$m$个，-1有$3-m$个，则$(3+2)^m(-1+2)^{3-m}=5^m\cdot1^{3-m}=25$，得$m=2$，故特征值为$3,3,-1$。则$|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=(3-1)^2(-1-1)=4\times(-2)=-8$？重新计算：$|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=(3-1)^2(-1-1)=4\times(-2)=-8$，但题目要求正值？检查：$|\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{E}|=25$，特征值$3,3,-1$对应$5,5,1$，积25，正确。$|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=2^2\times(-2)=-8$，取绝对值？题目未说明，答案为$-8$。 （3）$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$为实对称矩阵，且对任意非零向量$\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\|^2\geq0$，由$\boldsymbol{A}$可逆，$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$，故大于0，正定。 **难度**：★★★★☆