kaoyan2advanced 线性代数 第327题

**答案**：$a=1$，可逆线性变换为 $\begin{cases} z_1 = x_1 + 2x_2 - x_3 \\ z_2 = x_2 + x_3 \end{cases}$ **解析**： 步骤1：写出二次型矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & a+3 & 1 \\ -1 & 1 & a \end{pmatrix}$。 步骤2：规范形为 $z_1^2 - z_2^2$，故秩为2，正惯性指数为1，负惯性指数为1。因此 $|A|=0$ 且 $A$ 的特征值一正一负一零。 步骤3：计算 $|A|=0$：$|A| = 1\cdot[(a+3)a-1] -2\cdot(2a+1) -1\cdot(2+a+3) = a^2+3a-1-4a-2-a-5 = a^2-2a-8 = (a-4)(a+2)=0$，得 $a=4$ 或 $a=-2$。 步骤4：检验特征值符号。当 $a=4$ 时，$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 7 & 1 \\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$，顺序主子式 $|1|=1>0$，$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{vmatrix}=3>0$，$|A|=0$，故正惯性指数为2，不符。当 $a=-2$ 时，$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$，顺序主子式 $|1|=1>0$，$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-3<0$，$|A|=0$，故正惯性指数为1，负惯性指数为1，符合。因此 $a=-2$。 步骤5：求可逆线性变换。由 $A$ 的特征值 $\lambda_1>0, \lambda_2<0, \lambda_3=0$，求对应特征向量。解 $(A-0E)x=0$ 得基础解系 $\xi_3=(1,-1,1)^T$。取 $\lambda_1$ 对应特征向量 $\xi_1=(1,2,-1)^T$，$\lambda_2$ 对应特征向量 $\xi_2=(0,1,1)^T$，则正交化、单位化后得正交变换矩阵，但题目要求可逆线性变换，可直接用配方法。 步骤6：配方法：$f = x_1^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 + (a+3)x_2^2 + a x_3^2 + 2x_2x_3$，代入 $a=-2$，得 $f = x_1^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 + x_2^2 -2x_3^2 + 2x_2x_3 = (x_1+2x_2-x_3)^2 - (x_2+x_3)^2$。令 $z_1 = x_1+2x_2-x_3$，$z_2 = x_2+x_3$，则 $f = z_1^2 - z_2^2$，变换矩阵 $C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 可逆。 **难度**：★★★☆☆