kaoyan2advanced 线性代数 第328题

**答案**：$t=2$，$\displaystyle \boldsymbol{Q}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix}$ **解析**： 步骤1：$f$ 的矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，$g$ 的矩阵 $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & t \end{pmatrix}$。 步骤2：正交变换下，$A$ 与 $B$ 相似，故特征值相同。求 $A$ 的特征值：$|\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)^2(\lambda-1) - (\lambda-2) - (\lambda-2) = (\lambda-2)[(\lambda-2)(\lambda-1)-2] = (\lambda-2)(\lambda^2-3\lambda) = \lambda(\lambda-2)(\lambda-3)$，得特征值 $0,2,3$。 步骤3：$B$ 的特征值也为 $0,2,3$。$B$ 的特征多项式 $|\lambda E-B| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 1 & 0 \\ 1 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-t \end{vmatrix} = (\lambda-t)[(\lambda-1)^2-1] = (\lambda-t)(\lambda^2-2\lambda) = \lambda(\lambda-2)(\lambda-t)$，故 $t=3$。 步骤4：求 $A$ 的特征向量。$\lambda=0$：解 $Ax=0$，得 $\xi_1=(-2,1,1)^T$，单位化 $\displaystyle p_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2,1,1)^T$。$\lambda=2$：解 $(2E-A)x=0$，得 $\xi_2=(0,1,-1)^T$，单位化 $\displaystyle p_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1)^T$。$\lambda=3$：解 $(3E-A)x=0$，得 $\xi_3=(1,1,1)^T$，单位化 $\displaystyle p_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$。 步骤5：正交变换矩阵 $\displaystyle \boldsymbol{Q}=(p_1,p_2,p_3)=\begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$，但需调整为题目中 $g$ 的次序。由于 $g$ 的特征值对应 $0,2,3$，而 $B$ 中 $t=3$ 对应 $y_3^2$ 项，故 $Q$ 的列顺序对应特征值 $0,2,3$，即如上。但题目中 $g$ 的表达式为 $y_1^2+y_2^2+3y_3^2-2y_1y_2$，对应矩阵 $B$，正交变换后 $f$ 化为 $g$，故 $Q$ 即为所求。 **难度**：★★★☆☆