kaoyan3basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 第4题 4．设随机变量 $X$ 服从泊松分布，且 $E\left(2-X^{2}\right)=-4$ ，则 $P\{X<1\}=$ （A） 0 ． （B） $\mathrm{e}^{-2}$ ． （C） $\mathrm{e}^{-4}$ ． （D） $\mathrm{e}^{-1}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：设$X\sim P(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$，$E(X^2)=\lambda+\lambda^2$。 步骤2：由$E(2-X^2)=2-(\lambda+\lambda^2)=-4$，得$\lambda^2+\lambda-6=0$，解得$\lambda=2$（舍负）。 步骤3：$P\{X<1\}=P\{X=0\}=e^{-2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设参数并写出期望公式
设X服从参数为λ的泊松分布，则E(X)=λ，E(X²)=λ+λ²。
公式：E(X)=λ, E(X²)=λ+λ²
提示：泊松分布的期望和方差均为λ。
步骤 2/4
目标：利用已知期望列方程
由E(2-X²)=2-E(X²)=2-(λ+λ²)=-4，整理得λ²+λ-6=0。
公式：2-(λ+λ²)=-4 ⇒ λ²+λ-6=0
提示：注意E(2-X²)=2-E(X²)。
步骤 3/4
目标：解方程得参数λ
解二次方程λ²+λ-6=0，得(λ+3)(λ-2)=0，λ=2（舍去负值）。
公式：λ=2
提示：λ>0，故取λ=2。
步骤 4/4
目标：计算概率P{X<1}
P{X<1}=P{X=0}=e^{-λ}=e^{-2}。
公式：P{X=0}=e^{-λ}
提示：泊松分布概率公式P{X=k}=e^{-λ}λ^k/k!。
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