kaoyan3basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 第6题 6．设随机变量 $X$ 服从参数为 0.5 的指数分布，用切比雪夫不等式估计 $P\{|X-2| \geqslant 3\} \leqslant$ （A）$\displaystyle \frac{1}{9}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2}{9}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{4}{9}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：指数分布参数$\lambda=0.5$，则$\displaystyle E(X)=\frac{1}{\lambda}=2$，$\displaystyle D(X)=\frac{1}{\lambda^2}=4$。 步骤2：切比雪夫不等式$\displaystyle P\{|X-2|\geqslant3\}\leqslant\frac{D(X)}{3^2}=\frac{4}{9}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算指数分布的期望和方差
随机变量X服从参数λ=0.5的指数分布，则期望E(X)=1/λ=2，方差D(X)=1/λ²=4。
公式：E(X)=1/λ, D(X)=1/λ²
提示：指数分布的期望和方差公式要熟记。
步骤 2/2
目标：应用切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式：P{|X-μ|≥ε} ≤ D(X)/ε²。这里μ=E(X)=2，ε=3，D(X)=4，所以P{|X-2|≥3} ≤ 4/9。
公式：P{|X-μ|≥ε} ≤ D(X)/ε²
提示：注意不等式方向是小于等于，且ε是正数。
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