kaoyan3basic 概率论与数理统计 第426题
📝 题目
### 第426题 426 已知事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$P(A)=a, P(B)=b$ ．如果事件 $C$ 发生必然导致事件 $A$与 $B$ 同时发生，则 $A, B, C$ 都不发生的概率为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n(2n-1)}$，$|x|\leq1$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x)=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$。 步骤2：$\displaystyle \arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，故$\displaystyle x\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}$。 步骤3：$\displaystyle \ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n}$，故$\displaystyle \frac{1}{2}\ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n}$。 步骤4：相减得$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)x^{2n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n(2n-1)}$，收敛域$|x|\leq1$。 **难度**：★★★☆☆