kaoyan3basic 概率论与数理统计 第427题
📝 题目
### 第427题 427 已知事件 $A 、 B$ 仅发生一个的概率为 0.3 ，且 $P(A)+P(B)=0.5$ ，则 $A, B$ 至少有一个不发生的概率为 $\_\_\_\_$ ． C □ 428 设随机事件 $A, B$ 满足 $\displaystyle P(B \mid A)=\frac{1}{2}, P(A$ $\displaystyle B)=\frac{1}{3}, P(A B)=\frac{1}{8}$ ，则 $P(A \cup B)$ ＝ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：收敛域$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，和函数$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}\left[\ln(1+\frac{x}{\sqrt{2}})-\ln(1-\frac{x}{\sqrt{2}})\right]$？需重新计算。 **解析**： 步骤1：令$t=x^2$，则级数为$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2 2^n}t^n$，收敛半径$R_t=2$，故$|t|<2$即$|x|<\sqrt{2}$。 步骤2：在$t=2$即$x=\pm\sqrt{2}$处，级数为$\displaystyle \sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$，绝对收敛；在$t=-2$即$x$无实根。故收敛域为$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。 步骤3：和函数$\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n^2 2^n}$，可先求导：$\displaystyle S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{n 2^{n-1}}$，再求导得$\displaystyle S''(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)x^{2n-2}}{n 2^{n-1}}$，不易直接求和。 步骤4：利用已知级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{n^2}$为多重对数函数，但此处可写为$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}\int_0^{x^2}\frac{\ln(1+u/2)}{u}du$？更简单：$\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\left(\frac{x^2}{2}\right)^n$，即$\displaystyle S(x)=\text{Li}_2\left(-\frac{x^2}{2}\right)$，但通常不展开。 **难度**：★★★★☆