kaoyan3basic 线性代数 第8题
📝 题目
### 第8题 8．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，三阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵，矩阵 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ **解析**： 步骤1：由$A^2-AB=E$，得$A(A-B)=E$，故$A-B=A^{-1}$，即$B=A-A^{-1}$。 步骤2：计算$A^{-1}$，$A$为上三角矩阵，逆矩阵为$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$。 步骤3：$A^2=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$，则$B=A-A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$，但需验证：由$A^2-AB=E$，得$AB=A^2-E$，$B=A^{-1}(A^2-E)=A-A^{-1}$，计算$A^{-1}$：$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$，则$B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$。但检查：$A^2-E=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$，左乘$A^{-1}$得$B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$，故正确。 **难度**：★★★☆☆