线性代数

共 152 道题目

0 📝 有解析

### 第0题 0 & 0 & 1 $ $$ 则 $\boldsymbol{B}=$ （A） $\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{3} \boldsymbol{A}$ ．（B） $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{3} \boldsymbol{A}$ ．（C） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{3} \boldsymbol{P}_{2}$ ．（D） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{3}$ ．

3 📝 有解析

### 第3题齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+\quad 2 x_{3}-x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2}+\quad x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系是（A）$(-2,2,1,0)^{\mathrm{T}},(1,2,0,1)^{\mathrm{T}}$ ．（B）$(-1,0,1,1)^{\mathrm{T}},(2,0,-2,-2)^{\mathrm{T}}$ ．（C）$(-2,2,1,0)^{\mathrm{T}},(2,2,-3,-4)^{\mathrm{T}}$ ．（D）$(1,-2,0,1)^{\mathrm{T}}$ ．

341 📝 有解析

### 第341题 341 （2016，数农）多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 2 & x & 3 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ x & 1 & 2 & x\end{array}\right|$ 中，$x^{4}$ 与 $x^{3}$ 的系数依次为（A）$-1,-1$ ．（B） $1,-1$ ．（C）$-1,1$ ．（D） 1,1 ．

342 📝 有解析

### 第342题 342 已知行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$ ，则第一行元素的代数余子式之和为（A） 96 ．（B） 48 ．（C） 24 ．（D） 0 ．

343 📝 有解析

### 第343题 343 下列行列式中，行列式的值不等于 24 的是（A）$\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right|$ ．（B）$\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|$ ．（C）$\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$ ．（D）$\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0\end{array}\right|$ ．

344 📝 有解析

### 第344题 344 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为三维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 3 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$ ，若行列式 $|\boldsymbol{A}|=2$ ，则行列式 $|\boldsymbol{B}|=$ （A） 6 ．（B）-6 ．（C） 12 ．（D）-12 ．

345 📝 有解析

### 第345题 345 设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵，则下列行列式中等于 $|\boldsymbol{A}|$ 的是（A）$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$ ．（B）$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$. （C）$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$ ．（D）$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$.

346 📝 有解析

### 第346题 346 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 均为四维列向量，$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right|=a,\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right|=b$ ，则 $\left|\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{1}+2 \boldsymbol{\beta}_{2}\right|=$ （A） $2 a-b$ ．（B） $2 a+b$ ．（C） $2 b-a$ ．（D） $2 b+a$ ．

347 📝 有解析

### 第347题 347 （1990，数五）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则（A）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ ．（B）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|$ ．（C）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n}$ ．（D）$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ ．

348 📝 有解析

### 第348题 348 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=-2$ ，则 $\displaystyle \left|\frac{1}{3} \boldsymbol{A}^{*}\right|=$ （A）$\displaystyle \frac{8}{27}$ ．（B）$\displaystyle \frac{4}{27}$ ．（C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{4}{3}$ ．

349 📝 有解析

### 第349题 349 （2017，数农）已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ （A） 0 ．（B） 2 ．（C） 4 ．（D） 8 ．

350 📝 有解析

### 第350题 350 设 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccc}0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1 \\ & & & & 0\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{J}=$ （A）$\left[\begin{array}{cccc}0 & a_{11} & \cdots & a_{1, n-1} \\ 0 & a_{21} & \cdots & a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n 1} & \cdots & a_{n, n-1}\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{cccc}0 & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & \cdots & a_{1, n-1} & 0 \\ a_{21} & \cdots & a_{2, n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n, n-1} & 0\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{cccc}a_{12} & \cdots & a_{1 n} & 0 \\ a_{22} & \cdots & a_{2 n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & 0\end{array}\right]$ ．

351 📝 有解析

### 第351题 351 已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，正确的结论是（A） $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$. （C） $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ．（D） $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\Lambda}_{1}$ ， $\boldsymbol{\Lambda}_{2}$ 都是 $n$ 阶对角矩阵，在下列运算中： $\boldsymbol{A A ^ { * }}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{\Lambda}_{2}=\boldsymbol{\Lambda}_{2} \boldsymbol{\Lambda}_{1}$, $\boldsymbol{A}^{m} \boldsymbol{A}^{t}=\boldsymbol{A}^{t} \boldsymbol{A}^{m}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}_{1}=\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{A}$, $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$ 交换律肯定成立的共有

353 📝 有解析

### 第353题 353 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，正确的法则是（A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$ ．（B）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ ．（C）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}$ ．（D）$(\boldsymbol{A B})^{*}=\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*}$ ． □

354 📝 有解析

### 第354题 $354 \boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是（A）如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E}$ ，则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ 或 $\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{E}$ ．（B）如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$ ，则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ．（C）如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ．（D）如果 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ．

355 📝 有解析

### 第355题 $355 \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是（A） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ ．（B）如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ．（C）如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$ ．（D）如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ．

356 📝 有解析

### 第356题 356 （2018，数农）矩阵 $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0\end{array}\right]$ 的伴随矩阵为（A）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & -a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & -a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$ ．

357 📝 有解析

### 第357题 357 已知 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（B）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．（C） 1 ．（D） 2 ．

358 📝 有解析

### 第358题 358 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵，则错误的是（A）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right]$. （B）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$. （C）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{n} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{n}\end{array}\right]$. （D）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{n} \\ \boldsymbol{B}^{n} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ．

359 📝 有解析

### 第359题 359 已知 $\boldsymbol{X A}+2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{X}=$ （A）$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{cc}-1 & 3 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ ．（C）$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 1\end{array}\right]$ ．（D）$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ -3 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$ ．

360 📝 有解析

### 第360题 360 已知 $\boldsymbol{A}$ 是任意一个 $n$ 阶矩阵，则（1） $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ；（2） $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ；（3） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ；（4） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}$ ；（5） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ ．上述矩阵中，对称矩阵一共有（A） 2 个．（B） 3 个．（C） 4 个．（D） 5 个．

361 📝 有解析

### 第361题 361 下列矩阵中，行最简矩阵是（A）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．

362 📝 有解析

### 第362题 362 下列矩阵中，初等矩阵是（A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．

363 📝 有解析

### 第363题 363 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{1}=$ （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 3 & 3 & 0\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 3 \\ -3 & 0 & -3 \\ 7 & -1 & 9\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 1 \\ 7 & 7 & 1\end{array}\end{array}\right]$ ． $$ $\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{lll}$

365 📝 有解析

### 第365题 365 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的 1,2 两行互换得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 第三列的 -2 倍加到第一列得到单位矩阵，则 $\boldsymbol{A}=$ （A）$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]$ ．

366 📝 有解析

### 第366题 366 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶可逆矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行乘以 -2 得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则（A） $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1 行乘以 -2 得到矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 。（B） $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1 列乘以 $\displaystyle -\frac{1}{2}$ 得到矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ ．（C） $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1 行乘以 2 得到矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 。（D） $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的第 1 列乘以 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 得到矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ ．

367 📝 有解析

### 第367题 367 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & a & 10\end{array}\right]$ ，且秩 $r(\boldsymbol{A})=2$ ，则 $a=$ （A） 1 ．（B）-2 ．（C）3．（D）-1 ．若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则下列命题中，正确的是

369 📝 有解析

### 第369题 369 已知 $a$ 是任意常数，下列矩阵中秩有可能不等于 3 的是（A）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-1\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a+1\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & a+1\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 a+2\end{array}\right]$ ． 370 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是四阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则必有

371 📝 有解析

### 第371题 371 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}^{*}$ 均为 3 阶非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r(\boldsymbol{B})=$ （A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 1 或 2 ．

372 📝 有解析

### 第372题 372 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a\end{array}\right]$ ，则 $a=-2$ 是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 的（A）充分而非必要条件．（B）必要而非充分条件．（C）充分且必要条件．（D）既不充分也不必要条件． □ 纠铺笔记

373 📝 有解析

### 第373题 373 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & a \\ 2 & 3 & a & 4 \\ 3 & 5 & 1 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，则 $a=$ （A） 3 ．（B） 2 ．（C） 1 ．（D） 1 或 3 ．

374 📝 有解析

### 第374题 374 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关， $\boldsymbol{B}$ 是 4 阶矩阵，满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} . \boldsymbol{B}^{*}$ 是 $\boldsymbol{B}$的伴随矩阵。则 $r\left(\boldsymbol{B}^{*}\right)=$ （A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

375 📝 有解析

### 第375题 375 现有四个向量组（1）$(1,2,3)^{\mathrm{T}},(3,-1,5)^{\mathrm{T}},(0,4,-2)^{\mathrm{T}},(1,3,0)^{\mathrm{T}}$ （2）$(a, 1, b, 0,0)^{\mathrm{T}},(c, 0, d, 2,0)^{\mathrm{T}},(e, 0, f, 0,3)^{\mathrm{T}}$ （3）$(a, 1,2,3)^{\mathrm{T}},(b, 1,2,3)^{\mathrm{T}},(c, 3,4,5)^{\mathrm{T}},(d, 0,0,0)^{\mathrm{T}}$ （4）$(1,0,3,1)^{\mathrm{T}},(-1,3,0,-2)^{\mathrm{T}},(2,1,7,2)^{\mathrm{T}},(4,2,14,5)^{\mathrm{T}}$ 则下列结论正确的是（A）线性相关的向量组为（1）（4）；线性无关的向量组为（2）（3）．（B）线性相关的向量组为（3）（4）；线性无关的向量组为（1）（2）．（C）线性相关的向量组为（1）（2）；线性无关的向量组为（3）（4）．（D）线性相关的向量组为（1）（3）（4）；线性无关的向量组为（2）．

376 📝 有解析

### 第376题 376 当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关时，使等式 $$ k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0} $$ 成立的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ 是（A）某些全不为 0 的常数．（B）任意一组不全为 0 的常数．（C）唯一一组不全为 0 的常数．（D）无穷多组特定的不全为 0 的常数．

377 📝 有解析

### 第377题 377 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, t)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, t, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(t, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，而 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,3$ ， $2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(2,7, t+4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(0, t+2,3)^{\mathrm{T}}$ 线性无关，则（A）$t \neq-3$ ．（B）$t=1$ ．（C）$t=-2$ ．（D）$t=-3$ ．

378 📝 有解析

### 第378题 378 （2012，数一、二、三）设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right]$ ，其中 $c_{1}, c_{2}$ ， $c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ ．（D） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$.

379 📝 有解析

### 第379题 379 设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 的充分必要条件是（A） $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关．（B） $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关．（C） $\boldsymbol{A}$ 中每一个列向量都可由其他列向量线性表示．（D） $\boldsymbol{A}$ 中一定有 2 个列向量坐标成比例．

380 📝 有解析

### 第380题 380 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关的充分必要条件是（A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均不是零向量．（B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关．（C）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}$ 线性无关。（D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中每一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表出．

381 📝 有解析

### 第381题 381 设向量组（I）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, a_{23}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right)$ ；向量组（II）： $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}\right), \boldsymbol{\beta}_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24}\right), \boldsymbol{\beta}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}\right)$ ，则正确的命题是（A）（I）相关 ⇒（II）相关。（B）（I）无关 ⇒（II）无关．（C）（II）无关 ⇒（I）无关．（D）（II）相关 ⇒（I）无关．

382 📝 有解析

### 第382题 382 设向量组（I）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ ；向量组（II）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s+t}$ ，则正确命题是（A）（I）无关 ⇒（II）无关。（B）（I）无关 ⇒（II）相关。（C）（II）相关 ⇒（I）相关．（D）（II）无关 ⇒（I）无关。

383 📝 有解析

### 第383题 383 设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right], \boldsymbol{A B}=\left[\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵，记向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ ；（II） $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}$ ；（III） $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}$ ．若向量组（III）线性相关，则（A）（I）、（II）均线性相关．（B）（I）或（II）中至少有一个线性相关．（C）（I）一定线性相关．（D）（II）一定线性相关．

384 📝 有解析

### 第384题 384 已知四维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ．

385 📝 有解析

### 第385题 385 已知 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ．（D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$.

386 📝 有解析

### 第386题 386 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,0,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 的线性组合，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可能是（A）$(0,1,0)^{\mathrm{T}}$ ．（B）$(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ ．（C）$(5,0,1)^{\mathrm{T}}$ ．（D）$(0,1,5)^{\mathrm{T}}$ ．

387 📝 有解析

### 第387题 387 已知 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(4,-2, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(7, b, 4)^{\mathrm{T}}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,1,-1)^{\mathrm{T}}$ 线性表示，则（A）$a=2, b=-3$ ．（B）$a=-2, b=3$ ．（C）$a=2, b=3$ ．（D）$a=-2, b=-3$ ．

388 📝 有解析

### 第388题 388 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关，则（A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示．（B） $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示．（C） $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示．（D） $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示．

389 📝 有解析

### 第389题 389 设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，向量 $\boldsymbol{\beta}_{2}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则必有（A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性无关．（B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关．（C） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关．（D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关．

390 📝 有解析

### 第390题 390 （2021，数农）若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表出，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关是 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性无关的（A）充分必要条件．（B）充分不必要条件．（C）必要不充分条件．（D）既不充分也不必要条件．

391 📝 有解析

### 第391题 391 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ ，的秩为 $r$ ，则下列命题中正确的是（A）向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性无关．（B）向量组中任意 $r$ 个向量都线性无关．（C）向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性相关．（D）向量组中任意 $r+1$ 个向量都线性相关．

393 📝 有解析

### 第393题 $393 a=1$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(-2,-2, a+ 6)^{\mathrm{T}}$ 的秩为 2 的（A）充分必要条件．（B）充分而非必要条件．（C）必要而非充分条件．（D）既非充分又非必要条件．

394 📝 有解析

### 第394题 394 已知四维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=$ （A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ． 395某五元齐次线性方程组经高斯消元，系数矩阵化为 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]$ ，选取自由变量不能是

397 📝 有解析

### 第397题 397 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的三个不同的解，那么下列向量 $$ $\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \quad \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \quad \frac{2}{3}\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{1}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$ $$ 中是导出组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 解的向量共有（A） 4 个．（B） 3 个。（C） 2 个．（D） 1 个．

400 📝 有解析

### 第400题 400 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0)^{\mathrm{T}}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，那么下列向量中 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量是（A）$(1,-1,3)^{\mathrm{T}}$ ．（B）$(2,1,-3)^{\mathrm{T}}$ ．（C）$(2,2,-5)^{\mathrm{T}}$ ．（D）$(2,-2,6)^{\mathrm{T}}$ ．

401 📝 有解析

### 第401题 401 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则秩 $r(\boldsymbol{A})=$ （A）$t$ ．（B）$n-t$ ．（C）$m-t$ ．（D）$n-m$ ．

402 📝 有解析

### 第402题 402 要使 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-2,-1)^{\mathrm{T}}$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，只要系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为（A）$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -5 \\ -1 & -3 & 5\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 1 \\ 2 & -6 & 2\end{array}\right]$ ．

403 📝 有解析

### 第403题 403 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $m

404 📝 有解析

### 第404题 404 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是（A）与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等价的向量组．（B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C）与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等秩的向量组．（D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ．

405 📝 有解析

### 第405题 405 设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是四阶矩阵， $\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,-2,3,1)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,0,-2)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则必有（A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关．（B） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关．（C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关．（D） $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关． □

406 📝 有解析

### 第406题 406 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值是（A） $1,0,-2$ ．（B） $1,1,-3$ ．（C） $3,0,-2$ ．（D） $2,0,-3$ ．

407 📝 有解析

### 第407题 407 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，那么与 $\boldsymbol{A}$ 有相同特征值的矩阵是（A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ．（B） $\boldsymbol{A}^{2}$ ．（C） $\boldsymbol{A}^{-1}$ ．（D） $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ ． 408 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=1$ ，则 $\lambda=0$

409 📝 有解析

### 第409题 409 矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & -3\end{array}\right]$ 有一个特征向量是（A）$(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ ．（B）$(3,3,-6)^{\mathrm{T}}$ ．（C）$(4,-1,2)^{\mathrm{T}}$ ．（D）$(1,1,-2)^{\mathrm{T}}$ ．

410 📝 有解析

### 第410题 410 已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-2,3)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -1 \\ a & -2 & 2 \\ 3 & b & -1\end{array}\right]$ 的特征向量，则（A）$a=-2, b=6$ ．（B）$a=2, b=-6$ ．（C）$a=2, b=6$ ．（D）$a=-2, b=-6$ ．

411 📝 有解析

### 第411题 411 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是（A）若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量．（B）若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量．（C）若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{2}$ 的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量．（D）若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $2 \boldsymbol{A}$ 的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量． □

412 📝 有解析

### 第412题 412 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，其特征值是 $1,3,-2$ ，相应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，若 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$ ，则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -4 & \\ & & -3\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -2 & \\ & & -3\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$ ．

413 📝 有解析

### 第413题 413 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $2,2,-5 . \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 关于 $\lambda=2$ 的线性无关的特征向量， $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应于 $\lambda=-5$ 的特征向量．若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & -5\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{P}$ 不能是（A）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ．（B）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 5 \boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ．（C）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ．（D）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ．

414 📝 有解析

### 第414题 414 下列矩阵中，不能相似对角化的是（A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$ ．

415 📝 有解析

### 第415题 415 下列矩阵中， $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是（A） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$. （B） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ．（C） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ ．（D） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]$ ．

416 📝 有解析

### 第416题 416 设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,-1$ ，若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则下列矩阵中可逆矩阵是（A） $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}$ ．（B） $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}$ ．（C） $\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}$ ．（D） $\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ．

417 📝 有解析

### 第417题 417 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则下列命题中（1） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ，（2） $\boldsymbol{A}^{2} \sim \boldsymbol{B}^{2}$, （3） $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ，（4） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$,正确的命题共有（A） 4 个．（B） 3 个．（C） 2 个．（D） 1 个．

418 📝 有解析

### 第418题 418 已知二次型 $x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3}$ ，在下列矩阵运算中，得到二次型的是（A） $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ ．（B） $\boldsymbol{x}^{T}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ ．（C） $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ ．（D） $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ ．

419 📝 有解析

### 第419题 419 二次型 $$ a x_{1}^{2}+(2 a-1) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} $$ 的正惯性指数 $p=1$ ，则 $a \in$ （A）$(1,+\infty)$ ．（B）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ ．（C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 1\right]$ ．（D）$\displaystyle \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ ．

420 📝 有解析

### 第420题 420 下列二次型经正交变换标准形不是 $y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ 的是（A） $3 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ ．（B）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}$ ．（C） $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}$ ．（D）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}$ ．

421 📝 有解析

### 第421题 421 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是（A）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ ．（B）$z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ ．（C）$z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$ ．（D）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$ ．

422 📝 有解析

### 第422题 422 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，则 $a$的取值为（A）$(-2,2)$ ．（B） 2 ．（C）$(2,+\infty)$ ．（D）$(-\infty,-2)$ ．

423 📝 有解析

### 第423题 423 下列矩阵中，正定矩阵是（A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 8\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right]$ ．

424 📝 有解析

### 第424题 424 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 正定，则 $k$ 的取值范围是（A）$k=1$ ．（B）$k>1$ ．（C）$k \geqslant 1$ ．（D）$k \leqslant 1$ ．

425 📝 有解析

### 第425题 425 与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 合同的矩阵是（A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{lll}-1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ．

7 📝 有解析

### 第7题 7．设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 为三维列向量，已知三阶行列式 $|4 \boldsymbol{\gamma}-\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}-2 \boldsymbol{\gamma}, 2 \boldsymbol{\alpha}|=40$ ，则行列式 $|\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}|=$ $\_\_\_\_$。

8 📝 有解析

### 第8题 8．设 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵， $\boldsymbol{B}$ 为三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=2$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{*} \\ -2 \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

### 第9题 9．线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}-\lambda x_{2}-2 x_{3}=-1 \\ x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=2 \\ 5 x_{1}-5 x_{2}-4 x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 有唯一解，则 $\lambda$ 满足 $\_\_\_\_$ ．

10 📝 有解析

### 第10题 10．当 $t$ 满足条件 $\_\_\_\_$时，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 是正定的．

1 📝 有解析

### 第1题 1．四阶行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素代数余子式之和，即 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$ （A）-18 ．（B）-9 ．（C）-6 ．（D）-3 ．

2 📝 有解析

### 第2题 2．已知 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right)$ 为四阶方阵，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}$ 均为四维列向量，且已知行列式 $|\boldsymbol{A}|=4,|\boldsymbol{B}|=1$ ，则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=$ （A） 5 ．（B） 10 ．（C） 20 ．（D） 40 ．

3 📝 有解析

### 第3题 3．设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，则有（A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表出．（B） $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表出．（C） $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表出．（D） $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出．

4 📝 有解析

### 第4题 4．已知齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，且 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & a & 1\end{array}\right]$ ，则 $a=$ （A） 2 ．（B） 1 ．（C） 0 ．（D）-1 ．

5 📝 有解析

### 第5题 5．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的为（A）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ ．（B）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ．（C）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ ．（D）$\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ ．

6 📝 有解析

### 第6题 6．将 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行加到第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列加到第 2 列得矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，令 $\boldsymbol{P}= \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则（A） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P A P}$ ．（B） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$ ．（C） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ．（D） $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$ ．

7 📝 有解析

### 第7题 7．行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 1 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 \\ 0 & b & a & 1 \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

### 第8题 8．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，三阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵，矩阵 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$。

9 📝 有解析

### 第9题 9．设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+k \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}=3 \boldsymbol{\alpha}_{3}+2 \boldsymbol{\alpha}_{1}$ 线性相关，常数 $k=$ $\_\_\_\_$。

10 📝 有解析

### 第10题 10．设 2 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 1,2 ，则行列式 $\left|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{A}^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

2 📝 有解析

齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}-3 x_{4}=0 \\\\ x_{1}+x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right.$ $$ 的基础解系是 $\_\_\_\_$ ． --- （疑似OCR编号错误，以下内容可能属于其他题目） 2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} $$ 的正惯性指数 $p=$ $\_\_\_\_$ ． □

3 📝 有解析

齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}=0 \end{array}\right.$ $$ 的基础解系是 $\_\_\_\_$ ．

5 📝 有解析

### 第5题 5 x_{1}+b x_{2}-4 x_{3} & =a $\end{aligned}\right.$ $$ 的两个解，则此方程组的通解为 $\_\_\_\_$ ．

276 📝 有解析

### 第276题 276 （2017，数农）$\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $277\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $278\left(1988\right.$, 数三）$\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $279\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\ 9 & 8 & 7 & 6\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $280(2012$, 局部 $)\left|\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

281 📝 有解析

### 第281题 281 多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & x & 4 & 1 \\ 3 & 4 & x & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right|$ 中，$x^{2}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$ ．

282 📝 有解析

### 第282题 282 设四阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}$ 均为四维列向量，且 $\displaystyle |\boldsymbol{A}|=5,|\boldsymbol{B}|=-\frac{1}{2}$ ，则 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$ ．

283 📝 有解析

### 第283题 283 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=-3$ ，则 $\left|-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．（i）

284 📝 有解析

### 第284题 284 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}-\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

285 📝 有解析

### 第285题 285 设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,3,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(2,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{3}=$ $\_\_\_\_$。

286 📝 有解析

### 第286题 286 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{10}=$ $\_\_\_\_$ ．

287 📝 有解析

### 第287题 287 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

288 📝 有解析

### 第288题 288 设 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{P}$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{100}=$ $\_\_\_\_$ ． □

289 📝 有解析

### 第289题 289 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{cccc}4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

290 📝 有解析

### 第290题 290 已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的逆矩阵 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

291 📝 有解析

### 第291题 291 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，则 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B A})\left[\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \boldsymbol{A}\right]=$ $\_\_\_\_$。

292 📝 有解析

### 第292题 292 已知 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{3}=(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{3}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

293 📝 有解析

### 第293题 293 若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\displaystyle \left(\frac{1}{3} \boldsymbol{A}\right)^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

294 📝 有解析

### 第294题 294 设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=3$ ，将 $\boldsymbol{A}$ 的第二列的 -5 倍加到第一列得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{\cdot} \boldsymbol{B} \mid=$ $\_\_\_\_$ ．

295 📝 有解析

### 第295题 295 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ ，又 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ．

296 📝 有解析

### 第296题 296 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}$ 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}= (-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,-4)^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

297 📝 有解析

### 第297题 297 若 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 6\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

298 📝 有解析

### 第298题 298 四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+6 \boldsymbol{E}$ ，若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ． □

299 📝 有解析

### 第299题 299 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right]$ 与 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 4 & -1 & 2\end{array}\right]$ 等价，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

300 📝 有解析

### 第300题 300 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

301 📝 有解析

### 第301题 301 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3, t)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $t=$ $\_\_\_\_$。 Q约错笔记

302 📝 有解析

### 第302题 302 （1997，数二）已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0, t, 0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,-4,5, t)^{\mathrm{T}}$线性无关，则 $t$ 的取值为 $\_\_\_\_$。

303 📝 有解析

### 第303题 303 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(a,-2,2-a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a-1,-3,4-a)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

304 📝 有解析

### 第304题 304 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+a \boldsymbol{\alpha}_{2}, 3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

305 📝 有解析

### 第305题 305 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}, a \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 亦线性无关，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ． □

306 📝 有解析

### 第306题 306 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,3, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a+2,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(1,3,0)^{\mathrm{T}}$ ．若 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，且表示法不唯一，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

307 📝 有解析

### 第307题 307 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,3,2,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,-1,4,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,1,6,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(7, a, 14,3)^{\mathrm{T}}$ ，且 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ．（0）

308 📝 有解析

### 第308题 308 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1, a)^{\mathrm{T}}$ 可以表示任意一个三维向量，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ．

309 📝 有解析

### 第309题 309 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=\left(4,-4, a^{2}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\gamma}= (a, b, c)^{\mathrm{T}}$ ．如 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出，但 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

310 📝 有解析

### 第310题 310 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(a, 1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, a)^{\mathrm{T}}$ 的秩是 2 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

311 📝 有解析

### 第311题 311 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,3,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(5,1,8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{5}=(0,0$, 2）${ }^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组是 $\_\_\_\_$ ．

312 📝 有解析

### 第312题 312 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2, a,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a+1,3,1)^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

313 📝 有解析

### 第313题 313 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0\end{array}\right], r(\boldsymbol{A})=3$ ，则 $a$ $\_\_\_\_$ ．

315 📝 有解析

### 第315题 315 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维列向量，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 坐标不成比例， $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出，则 $r(\boldsymbol{A})=$ $\_\_\_\_$。

316 📝 有解析

### 第316题 316 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． □

319 📝 有解析

### 第319题 319 已知齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{cl}a x_{1}-3 x_{2}+3 x_{3} & =0 \\ x_{1}+(a+2) x_{2}+3 x_{3} & =0 \\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =0\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

320 📝 有解析

### 第320题 320 已知方程组 $$ $\left\{\begin{array}{c}$ a x_{1}+x_{2}+x_{3}=a-3 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+x_{2}+a x_{3}=-2 $\end{array}\right.$ $$ 有无穷多解，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

322 📝 有解析

### 第322题 322 （2002，数二）矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right]$ 的非零特征值是 $\_\_\_\_$ ．

323 📝 有解析

### 第323题 323 已知 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,2)^{\mathrm{T}}$ ，则矩阵 $2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$。 324已知 $\boldsymbol{\alpha}=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right]$ 的逆矩阵的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中对应的特征值是 $\_\_\_\_$ ．

325 📝 有解析

### 第325题 325 （1987，数四）矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的实特征值所对应的特征向量是 $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$ ．

327 📝 有解析

### 第327题 327 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $1,3,-2$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}= (4,-1, a)^{\mathrm{T}}$ 分别是属于特征值 $\lambda=1$ 与 $\lambda=3$ 的特征向量，那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=-2$ 的特征向量是 $\_\_\_\_$。 328 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $1,2,-1$ ，若 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$。

329 📝 有解析

### 第329题 329 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 相似，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

330 📝 有解析

### 第330题 330 已知 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$ ，则 $r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=$ $\_\_\_\_$ ．

331 📝 有解析

### 第331题 331 已知 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=$ $\_\_\_\_$ ．

332 📝 有解析

### 第332题 332 已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right], \boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 可逆，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 关于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量是 $\_\_\_\_$ ．

333 📝 有解析

### 第333题 333 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

334 📝 有解析

### 第334题 334 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关的列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+ \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$。

335 📝 有解析

### 第335题 335 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，若正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$ ，如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1$ ， $0,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的特征向量，则 $\boldsymbol{Q}=$ $\_\_\_\_$ ．

338 📝 有解析

### 第338题 338 若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

339 📝 有解析

### 第339题 339 二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 在正交变换下的标准形为 $\_\_\_\_$ ．

340 📝 有解析

### 第340题 340 已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$ 是二次型 $$ $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_{1}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ $$ 的特征向量，则此二次型经正交变换所得标准形是 $\_\_\_\_$。

1 📝 有解析

### 第1题 1．设 $|\boldsymbol{A}|$ 是四阶行列式，且 $|\boldsymbol{A}|=-2$ ，则 $|2| \boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}|=$ （A） $2^{5}$ ．（B）$-2^{5}$ ．（C） $2^{9}$ ．（D）$-2^{9}$ ．

2 📝 有解析

### 第2题 2．设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 中（A）所有 $r-1$ 阶子式都不为 0 。（B）所有 $r-1$ 阶子式全为 0 ．（C）至少有一个 $r$ 阶子式不等于 0 ．（D）所有 $r$ 阶子式都不为 0 。

3 📝 有解析

### 第3题 3．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1,0,0, \lambda_{1}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(1,2,0, \lambda_{2}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(-1,2,3, \lambda_{3}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left(-2,1,5, \lambda_{4}\right)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\lambda_{1}$ ， $\lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ 是任意实数，则有（A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 总线性相关．（B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 总线性相关．（C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 总线性无关．（D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 总线性无关．

4 📝 有解析

### 第4题 4．设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 是非齐次线性方程组， $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是其任意两个解，则下列结论错误的是（A） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解．（B）$\displaystyle \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{1}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．（C） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解．（D） $2 \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．

5 📝 有解析

### 第5题 5．已知二阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量为 $\binom{-3}{1}$ ，且 $|\boldsymbol{A}|<0$ ，则下面必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量的是（A）$k\binom{-3}{1}$ ．（B）$\binom{1}{3}$ ．（C）$k_{1}\binom{-3}{1}+k_{2}\binom{1}{3}, k_{1} \neq 0$ 且 $k_{2} \neq 0$ 。（D）$k_{1}\binom{-3}{1}+k_{2}\binom{1}{3}, k_{1}, k_{2}$ 不同时为零。

6 📝 有解析

### 第6题 6．必合同于单位矩阵的矩阵为（A）对角矩阵．（B）对称矩阵．（C）正定矩阵．（D）正交矩阵．