kaoyan3basic 线性代数 第8题
📝 题目
### 第8题 8．设 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵， $\boldsymbol{B}$ 为三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=2$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{*} \\ -2 \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-32$ **解析**：步骤1：对于分块矩阵$\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}$，有$\begin{vmatrix}O&A\\B&O\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|$，其中$A$为$m$阶，$B$为$n$阶。 步骤2：此处$A^*$为2阶，$(-2B)$为3阶，故$m=2$，$n=3$，行列式$=(-1)^{2\times3}|A^*|\cdot|-2B|$。 步骤3：$|A^*|=|A|^{2-1}=2$，$|-2B|=(-2)^3|B|=-8\times2=-16$。 步骤4：乘积$=1\times2\times(-16)=-32$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用分块矩阵行列式公式
对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，有 $\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| |B|$，其中 $A$ 为 $m$ 阶，$B$ 为 $n$ 阶。此处 $A^*$ 为 2 阶，$-2B$ 为 3 阶，故 $m=2$，$n=3$，行列式 $= (-1)^{2\times 3} |A^*| \cdot |-2B|$。
公式：$\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| |B|$
提示：注意 $m$ 和 $n$ 分别是左上角零矩阵的行数和列数，实际上对应 $A$ 的阶数和 $B$ 的阶数。
步骤 2/4
目标：计算 $|A^*|$
对于二阶方阵 $A$，有 $|A^*| = |A|^{2-1} = |A| = 2$。
公式：$|A^*| = |A|^{n-1}$，其中 $n$ 为 $A$ 的阶数
提示：注意伴随矩阵的行列式公式只适用于方阵。
步骤 3/4
目标：计算 $|-2B|$
对于三阶方阵 $B$，$|-2B| = (-2)^3 |B| = -8 \times 2 = -16$。
公式：$|kA| = k^n |A|$，其中 $n$ 为 $A$ 的阶数
提示：注意常数因子 $k$ 的幂次是矩阵的阶数。
步骤 4/4
目标：计算最终结果
代入得：$(-1)^{6} \times 2 \times (-16) = 1 \times 2 \times (-16) = -32$。
提示：注意 $(-1)^{2\times 3} = (-1)^6 = 1$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。