kaoyan3basic 线性代数 第9题
📝 题目
### 第9题 9．线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}-\lambda x_{2}-2 x_{3}=-1 \\ x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=2 \\ 5 x_{1}-5 x_{2}-4 x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 有唯一解，则 $\lambda$ 满足 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\lambda\neq1$且$\lambda\neq-2$ **解析**：步骤1：方程组有唯一解当且仅当系数矩阵行列式非零。系数矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-\lambda&-2\\1&-1&\lambda\\5&-5&-4\end{pmatrix}$。 步骤2：计算$|A|=\begin{vmatrix}1&-\lambda&-2\\1&-1&\lambda\\5&-5&-4\end{vmatrix}$，第一行乘-1加第二行，乘-5加第三行得$\begin{vmatrix}1&-\lambda&-2\\0&\lambda-1&\lambda+2\\0&5\lambda-5&6\end{vmatrix}$。 步骤3：按第一列展开得$(\lambda-1)\cdot6-(\lambda+2)(5\lambda-5)=6(\lambda-1)-5(\lambda+2)(\lambda-1)=(\lambda-1)(6-5\lambda-10)=(\lambda-1)(-5\lambda-4)$。 步骤4：令$|A|\neq0$，即$(\lambda-1)(-5\lambda-4)\neq0$，解得$\lambda\neq1$且$\displaystyle \lambda\neq-\frac{4}{5}$。检查：原计算有误，重新计算： $|A|=\begin{vmatrix}1&-\lambda&-2\\0&\lambda-1&\lambda+2\\0&5\lambda-5&6\end{vmatrix}=(\lambda-1)\cdot6-(\lambda+2)(5\lambda-5)=6\lambda-6-5\lambda^2-5\lambda+10\lambda+10=-5\lambda^2+11\lambda+4$。 令其等于0得$5\lambda^2-11\lambda-4=0$，解得$\displaystyle \lambda=\frac{11\pm\sqrt{121+80}}{10}=\frac{11\pm\sqrt{201}}{10}$，非整数，故需重新检查系数矩阵。 正确解法：系数矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-\lambda&-2\\1&-1&\lambda\\5&-5&-4\end{pmatrix}$，计算$|A|=\begin{vmatrix}1&-\lambda&-2\\0&\lambda-1&\lambda+2\\0&5\lambda-5&6\end{vmatrix}=(\lambda-1)\cdot6-(\lambda+2)(5\lambda-5)=6\lambda-6-5\lambda^2-5\lambda+10\lambda+10=-5\lambda^2+11\lambda+4$。 令$|A|=0$得$5\lambda^2-11\lambda-4=0$，解得$\displaystyle \lambda=\frac{11\pm\sqrt{201}}{10}$，故$\lambda$不等于这两个值。但题目通常为简单数，检查原方程组第三方程系数：$5x_1-5x_2-4x_3=\lambda$，与第一、二方程可能线性相关。用行变换： $\begin{pmatrix}1&-\lambda&-2&-1\\1&-1&\lambda&2\\5&-5&-4&\lambda\end{pmatrix}$，第二行减第一行得$(0,\lambda-1,\lambda+2,3)$，第三行减5倍第一行得$(0,5\lambda-5,6,\lambda+5)$。 当$\lambda=1$时，第二行$(0,0,3,3)$，第三行$(0,0,6,6)$，秩为2，但增广矩阵秩可能为2或3，需具体判断。实际上$\lambda=1$时，第三行是第二行的2倍，增广矩阵秩为2，有无穷多解。 当$\lambda=-2$时，第二行$(0,-3,0,3)$，第三行$(0,-15,6,3)$，系数矩阵秩为3？计算$|A|$代入$\lambda=-2$得$-5(4)-11(-2)+4=-20+22+4=6\neq0$，故$\lambda=-2$时唯一解。 正确解$|A|=0$的根为$\lambda=1$或$\displaystyle \lambda=-\frac{4}{5}$？代入$\lambda=1$得$-5+11+4=10\neq0$，矛盾。重新计算行列式： $|A|=\begin{vmatrix}1&-\lambda&-2\\1&-1&\lambda\\5&-5&-4\end{vmatrix}=1\cdot(-1)(-4)+(-\lambda)\cdot\lambda\cdot5+(-2)\cdot1\cdot(-5)-(-2)\cdot(-1)\cdot5-(-\lambda)\cdot1\cdot(-4)-1\cdot\lambda\cdot(-5)$ $=4-5\lambda^2+10-10-4\lambda+5\lambda=4-5\lambda^2+10-10-4\lambda+5\lambda=4-5\lambda^2+\lambda$。 故$|A|=-5\lambda^2+\lambda+4=0$，解得$\lambda=1$或$\displaystyle \lambda=-\frac{4}{5}$。 所以$\lambda\neq1$且$\displaystyle \lambda\neq-\frac{4}{5}$。 **难度**：★★★☆☆