kaoyan3basic 线性代数 第10题

教材习题

📝 题目

### 第10题 10．当 $t$ 满足条件 $\_\_\_\_$时，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 是正定的．

💡 答案解析

**答案**：$-\sqrt{2}0$；二阶：$\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=2-1=1>0$；三阶：$|A|=\begin{vmatrix}2&1&0\\1&1&t\\0&t&1\end{vmatrix}=2(1\cdot1-t\cdot t)-1(1\cdot1-0)+0=2(1-t^2)-1=1-2t^2>0$。 步骤3：解得$\displaystyle t^2<\frac{1}{2}$，即$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}0$，得$t^2<1/2$，即$|t|<\sqrt{2}/2$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：写出二次型对应的矩阵
根据二次型表达式，写出矩阵A。二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2tx2x3，对应矩阵A为：A=[[2,1,0],[1,1,t],[0,t,1]]。
公式：A = [[2,1,0],[1,1,t],[0,t,1]]
提示：注意交叉项系数除以2后填入对称位置。
步骤 2/3
目标：利用顺序主子式判断正定性
二次型正定的充要条件是各阶顺序主子式大于0。计算一阶顺序主子式：Δ1=2>0；二阶顺序主子式：Δ2=det([[2,1],[1,1]])=2*1-1*1=1>0；三阶顺序主子式：Δ3=det(A)=2*(1*1 - t*t) -1*(1*1 - 0) +0 = 2(1-t^2)-1 = 1-2t^2。
公式：Δ1=2>0; Δ2=1>0; Δ3=1-2t^2>0
提示：计算三阶行列式时，按第一行展开。
步骤 3/3
目标：解不等式得到t的范围
由Δ3>0得1-2t^2>0，即t^2<1/2，解得-√2/2 < t < √2/2。
公式：t^2 < 1/2 ⇒ -√2/2 < t < √2/2
提示：注意开方后取绝对值。

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