kaoyan3basic 线性代数 第7题

教材习题

📝 题目

### 第7题 7．设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 为三维列向量，已知三阶行列式 $|4 \boldsymbol{\gamma}-\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}-2 \boldsymbol{\gamma}, 2 \boldsymbol{\alpha}|=40$ ，则行列式 $|\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}|=$ $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

**答案**：$5$ **解析**：步骤1：利用行列式性质，$|4\gamma-\alpha,\beta-2\gamma,2\alpha|=|4\gamma,\beta-2\gamma,2\alpha|+|- \alpha,\beta-2\gamma,2\alpha|$。 步骤2：第一项$=4\cdot2|\gamma,\beta-2\gamma,\alpha|=8|\gamma,\beta,\alpha|$（将第二列减去2倍第一列）；第二项$=(-1)\cdot2|\alpha,\beta-2\gamma,\alpha|=0$（两列成比例）。 步骤3：故原式$=8|\gamma,\beta,\alpha|=-8|\alpha,\beta,\gamma|=40$，得$|\alpha,\beta,\gamma|=-5$。注意：题目中$|4\gamma-\alpha,\beta-2\gamma,2\alpha|=40$，计算得$|\alpha,\beta,\gamma|=-5$，但答案应为$-5$，检查符号：$8|\gamma,\beta,\alpha|=8(-1)|\alpha,\beta,\gamma|=-8|\alpha,\beta,\gamma|=40$，故$|\alpha,\beta,\gamma|=-5$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将原行列式拆分为两个行列式的和
利用行列式的线性性质，将第一列拆开：|4γ-α, β-2γ, 2α| = |4γ, β-2γ, 2α| + |-α, β-2γ, 2α|。
公式：|A+B, C, D| = |A, C, D| + |B, C, D|
提示：注意拆开时其他列保持不变。
步骤 2/4
目标：计算第一个行列式
从第一列提出4，从第三列提出2，得 4×2|γ, β-2γ, α| = 8|γ, β-2γ, α|。再将第二列减去2倍第一列，行列式值不变：|γ, β-2γ, α| = |γ, β, α|。所以第一项为 8|γ, β, α|。
公式：|kA, B, C| = k|A, B, C|；|A, B+kA, C| = |A, B, C|
提示：注意提取公因子和列变换的规则。
步骤 3/4
目标：计算第二个行列式
从第三列提出2，得 2|-α, β-2γ, α|。由于第一列和第三列成比例（-α与α），行列式值为0。
公式：若两列成比例，则行列式为0
提示：注意符号：提出因子时需考虑符号。
步骤 4/4
目标：合并结果并求解
原式 = 8|γ, β, α| + 0 = 8|γ, β, α|。交换第一列和第三列，|γ, β, α| = -|α, β, γ|。所以 8(-|α, β, γ|) = 40，即 -8|α, β, γ| = 40，解得 |α, β, γ| = -5。
公式：交换两列，行列式变号
提示：注意符号变化，最终结果应为-5。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第425题 返回列表 第8题 →